解決一元二次方程問題時(shí)常用的四種數(shù)學(xué)思想

渠英

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，而掌握數(shù)學(xué)思想和方法是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，是對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它在學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，起著關(guān)鍵性的指導(dǎo)作用. 下面舉例說明四種重要的數(shù)學(xué)思想和方法在解決一元二次方程問題中的應(yīng)用.

一、 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化也稱化歸，它是指將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題，根據(jù)知識(shí)間內(nèi)在的聯(lián)系，從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，問題就可能比較順利地得到解決，這就是轉(zhuǎn)化的思想方法. 它能夠幫助我們打開思路，把一個(gè)較復(fù)雜或陌生的問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)已經(jīng)解決過的比較簡單或熟悉的問題.

例1 （2013·山東菏澤）解方程：（x+1）·（x-1）+2（x+3）=8.

【解析】觀察本題的特點(diǎn)，可以看出解方程的幾種方法均不能處理此題，因而應(yīng)利用整式的乘法及加、減把一元二次方程化成一般形式，然后再利用因式分解法.

解：原方程可化為x2+2x-3=0，即（x-1）·（x+3）=0， 解之，得x1=1，x2=-3.

【點(diǎn)評(píng)】在解一元二次方程時(shí)，一般情況下先觀察其特點(diǎn)，判斷是否能直接應(yīng)用開平方法、因式分解法，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為“+1”且一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，利用配方法，最后才考慮公式法. 這四種方法都不能直接應(yīng)用時(shí)，注意把方程變?yōu)橐话阈问饺デ蠼?

二、 整體思想

整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征. 對(duì)本章的學(xué)習(xí)來說，就是要善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理. 采用整體處理的方法，不僅可避免復(fù)雜的計(jì)算，而且還達(dá)到了解決問題的目的.

例2 （1） （2013·黑龍江綏化）設(shè)a，b是方程x2+x-2013=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值______.

（2） （2013·荊州）設(shè)x1，x2是方程x2-x-2013=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x3 1+2014x2-2013的值______.

【解析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，由根的定義得ax2 1+bx1+c=0，ax2 2+bx2+c=0，以及x1+x2=-，x1·x2=等結(jié)論. 結(jié)合所求代數(shù)式的特點(diǎn)，再利用這些結(jié)論中的某些結(jié)論，進(jìn)行整體代入，往往可使所求問題變得簡單.

解：（1） 因?yàn)閍，b是方程x2+x-2013=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，由根的定義，得a2+a-2013=0，即a2+a=2013，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a+b=-1，所以，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013+（-1）=2012.

（2） x1，x2是方程x2-x-2013=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，x2 1-x1-2013=0，即x2 1=x1+2013，x1+x2=1，所以x3 1+2014x2-2013=x2 1·x1+2014x2-2013=（x1+2013）·x1+2014x2-2013=x2 1+2013x1+2014x2-2013=x1+2013+2013x1+2014x2-2013=2014（x1+x2）=2014.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的根的定義、根與系數(shù)的關(guān)系以及整體思想，解決此類題型的關(guān)鍵是熟悉相關(guān)的知識(shí)點(diǎn). 如第（1）小題，將a2+a=2013及a+b=-1作為整體進(jìn)行代入計(jì)算. 第（2）小題利用x2 1=x1+2013進(jìn)行降冪，再利用x1+x2=1求出代數(shù)式的值.

三、 分類討論思想

所謂分類討論思想，就是在研究解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，若問題所給對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究，我們就要根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將對(duì)象分為能用不同形式來解決的小問題，將這些小問題逐一解決，從而使整個(gè)問題得到解決，這種處理問題的思想方法稱為分類思想. 它既是一種數(shù)學(xué)思想方法，又是一種重要的解題策略.

例3 （2013·四川內(nèi)江）如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q. 請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：

（1） 已知關(guān)于x的方程x2+mx+n=0（n≠0），求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；

（2） 已知a、b滿足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；

（3） 已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值.

【解析】可綜合應(yīng)用上面的三種解題方法求解本題. （1） 抓住兩方程的根互為倒數(shù)利用轉(zhuǎn)化思想構(gòu)造方程即可. （2） 應(yīng)考慮a，b相等與a、b不相等兩種情況分類討論. 當(dāng)它們相等時(shí)，，的值都等于1；當(dāng)它們不相等時(shí)，a，b可以理解為是關(guān)于x的方程x2-15x-5=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根，然后對(duì)+通分，利用完全平方公式變形，再整體代入求解. （3） 由a+b+c=0，abc=16，得a+b=-c，ab=，構(gòu)造以a，b為根的一元二次方程，然后利用根的判別式b2-4ac≥0構(gòu)造不等關(guān)系求解.

解：（1） 設(shè)x2+mx+n=0（n≠0）的根為x， 所求方程根為y，則y=，即x=，把x=代入x2+mx+n=0，得

2+m·+n=0. 即ny2+my+1=0.

（2） ①當(dāng)a≠b時(shí)，由題意知a，b是一元二次方程x2-15x-5=0的兩實(shí)根，

∴a+b=15，ab=-5.

∴+==

==-47.

②當(dāng)a=b時(shí)，+=1+1=2.

∴+=-47或2.

（3） ∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=-c，ab=.

∴a，b是方程x2+cx+=0的兩實(shí)根.

∴c2-≥0.

∵c>0，∴c3≥64. ∴c≥4.

∴c的最小值為4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，難度較大. 數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并不作高的要求，此題在這種情況下以閱讀題的形式命制，為大家鋪設(shè)好解決問題所需要的知識(shí)和方法，可以有效考查同學(xué)們的自學(xué)能力，靈活應(yīng)用能力，具有一定的區(qū)分度.

四、 建模思想

建模思想其實(shí)質(zhì)是從實(shí)際問題中提取出關(guān)鍵性的基本量，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來表達(dá).

例4 市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格. 某種藥品經(jīng)過連續(xù)2次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少？

【解析】 對(duì)于降價(jià)問題，一般是降價(jià)后的量=降價(jià)前的量×（1-下調(diào)的百分率），設(shè)出平均每次下調(diào)的百分率，根據(jù)從200元下調(diào)到128元，列出一元二次方程求解即可；

解： 設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，

由題意，得200×（1-x）2=128.

解這個(gè)方程，得x1=0.2，x2=1.8.

因?yàn)榻祪r(jià)的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合題意，故舍去.

符合題目要求的是x1=0.2=20%.

答：平均每次下調(diào)的百分率是20%.

【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于兩次增長（或降低）率問題，要注意其固定的等量關(guān)系. 一般形式為：a（1+x）2=b，a（1-x）2=b. 其中x為增長（或降低）百分率，a表示為增長（或降低）前的數(shù)據(jù)，b表示經(jīng)過兩次增長（或降低）后得到的數(shù)據(jù)，“+”表示增長，“-”表示降低.

小試身手

1. 設(shè)x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x2 1+3x1x2+x2 2的值為______.

2. 已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，則m2+2mn+n2的值為______.

3. 關(guān)于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有實(shí)數(shù)根，則a滿足（ ）.

A. a≥1 B. a>1且a≠5

C. a>1 D. a≠5

4. 已知關(guān)于x的方程x2=（2m+2）x-（m2+4m-3）中的m為不小于0的整數(shù)，并且它的兩實(shí)根的符號(hào)相反，求m的值，并解方程.

5. 長沙市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米5 000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后購房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定以每平方米4 050元的均價(jià)開盤銷售.

（1） 求平均每次下調(diào)的百分率；

（2） 某人準(zhǔn)備以開盤均價(jià)購買一套100平方米的房子，開發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費(fèi)，物業(yè)管理費(fèi)是每平方米每月1.5元. 請(qǐng)問哪種方案更優(yōu)惠？