高中三種數(shù)學思想方法在導數(shù)中的應用

申峰

【摘要】本文著重介紹數(shù)形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想這三種數(shù)學思想方法在解決導數(shù)問題時，特別是在處理高考試題時如何進行應用.

【關鍵詞】導數(shù)問題;數(shù)形結合思想;分類討論思想;等價轉化思想

數(shù)形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想，這是高中數(shù)學的三種常用數(shù)學思想方法，而這三種數(shù)學思想方法對于我們解決導數(shù)問題卻起著舉足輕重的作用，同時“導數(shù)的應用”這一節(jié)內容也為我們培養(yǎng)這些數(shù)學思想方法提供了豐富的素材.

一、數(shù)形結合思想

由于導數(shù)往往和函數(shù)圖像緊密聯(lián)系，所以以圖像為載體，考查導數(shù)應用的問題屢見不鮮，這些題往往需要從函數(shù)圖像的升降狀態(tài)，對應導數(shù)值的正負.

例1 若函數(shù)f（x）在定義域內可導

f（x）圖像如圖所示，則導函數(shù)y=f′（x）的圖像可能為（ ）.

解析 由原函數(shù)圖像可知當x<0時，f（x）遞增，故f′（x）>0;當x>0時，f（x）先增后減再增，f′（x）先正后負再正.故選D.

例2 設f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，y=f′（x）的圖像如圖所示，則y= f（x）的圖像最有可能是（ ）.

解析 由圖像可知：

當x∈（-∞，0）時，f′（x）>0 ，f（x）遞增;

x∈（0，2）時，f′（x）<0，f（x）遞減;

x∈（2，+∞）時，f

′（x）>0，f（x）遞增，

且在x=2點處，左減右增，故x=2是極小值點.故選C.

二、分類討論思想

對于含參函數(shù)的單調性、極值、最值問題，要根據(jù)參數(shù)的取值范圍進行討論.

例3 已知f（x）=x3-3ax2-3a2+ a（a為常數(shù)），討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間.

解析 f′（x）=3x2-6ax2=3x（x-2a），

故f′（x）=0的兩根為x1=0，x2=2a.

①a=0時，f′（x）=3x2≥0恒成立，所以函數(shù)f（x）在定義域R內單增.

②當a<0時，f′（x）>0得x<2a或x>0;f′（x）<0得 2a

故f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，2a），（0，+∞），

f（x）的遞減區(qū)間為（2a，0）.

③當a>0時，

f′（x）>0得x<0或x>2a;f′（x）<0得0

故 f（x）的單增區(qū)間為（-∞，0），（2a，+∞），

f（x）的單減區(qū)間為（0，2a）.

從這道題我們可以看出，對含參的函數(shù)進行參數(shù)的分類討論，依然是教學的難點.

三、等價轉化思想

相等關系與不等關系的轉化，變量與常量的轉化，直接法與間接法的轉化等等，都在導數(shù)題中有所體現(xiàn).

例4 利用函數(shù)的單調性，證明不等式ex> 1 + x.

解析 設f（x）=ex-x-1，

則 f′（x）=ex-1.

當x>0時，f′（x）=ex-1>0，∴f（x）單增.

∴ f（x）=ex-1-x> f（0）=0.

即ex >1 + x.

當x<0時，f′（x）=ex-1<0 ，∴ f（x）遞減.

∴ f（x）=ex-1-x >f（0）=0.

即ex >1+ x.

綜上，ex >1+ x.

對于一些不等式的證明問題，直接求解不太容易時，可以考慮通過構造等間接手段，再利用函數(shù)的單調性，從而證明不等式成立.

當然，導數(shù)應用中蘊含的數(shù)學思想方法遠不止這三種，函數(shù)與方程思想（極值點就是導數(shù)為零的方程的根）、化歸思想（把問題轉化為二次函數(shù)問題加以解決）等等，這其中的任何一種思想方法都值得我們細細地體會.