老定理，新證法，新教法

摘 要：高中解析幾何有一個重要的判定定理：直線。中職教材和普高教材一樣，都是利用三角函數(shù)來證明此定理的，但三角函數(shù)是中職生的軟肋，因此對于此定理的證明得另辟蹊徑，利用向量內(nèi)積來證明此定理，由于向量內(nèi)積學生剛學過，因此這種方法的教學效果不錯。

關(guān)鍵詞：直線斜率；垂直；向量坐標；向量內(nèi)積

一、教材中的證法和學情

筆者首先給出中職數(shù)學教材中直線垂直判定定理（以下簡稱定理）的證明過程，然后介紹中職生的知識掌握情況。

1.教材中的證法

2.中職生的學情

中職即職高，學生的數(shù)學基礎(chǔ)薄弱，比不得普高學生，高一第一學期學完，中職生普遍反應三角函數(shù)的內(nèi)容太過抽象，難，尤其是誘導公式。而筆者所在地區(qū)的中職學校選用的教材都一樣，關(guān)于此定理的證明都如上所述。筆者想，如果課堂上就這么去證明此定理，效果肯定不好，反而會引發(fā)學生對數(shù)學的畏難情緒；但若只給定理結(jié)果不證明，那么對學生理解該定理肯定是不利的，況且這個定理是體現(xiàn)解析幾何思想的一個好載體，我不愿就此放過。于是在備課時，筆者就想有沒有另一種讓中職生易接受的證明方法。

這個定理隸屬教材第八章“直線和圓的方程”，前一章是平面向量，學生對向量的知識還記憶猶新，因此我尋得了一個方向，并最終確定用向量內(nèi)積簡潔地證明此定理，這樣既解決了定理的證明問題，又體現(xiàn)了向量知識的應用價值，可謂一舉兩得。

二、定理的新證法

這三個定理都是第七章的重點內(nèi)容，老師強調(diào)得多，學生掌握得也不錯。

2.新證法

為簡化和理解證明過程，課堂上筆者先引導學生作了一個簡短的分析，然后再開始證明。

分析：兩直線若垂直，平移其中的任一條，都不會改變他們的垂直關(guān)系，這說明兩直線垂直與否只取決于兩直線的傾斜程度即斜率，與截距無關(guān)，。那么我們就選取解析式最簡單的那類直線，即過原點的直線。

定理：設(shè)直線l1與l2的斜率都存在，分別為k1和k2，那么l1⊥l2？圳k1·k2=-1

這種新證法還有一個好處，每一步都是互推的，將充要條件兩個方向都證明了。而原教材中的證明只給出了充分性的證明，略了必要性的證明，必要性的證明更難。因此筆者認為在這類體系的教材中，本文的新證法較適合中職生，也具有一定的推廣價值。

而對普高學生來說，這個證法亦可以作為教材證法的補充，開闊學生的思維。

作者簡介：潘水軍，男，就職于浙江省杭州市蕭山第三中等職業(yè)學校，中學二級，主要研究方向：新教材的知識連貫和思維連續(xù)。

編輯 趙飛飛