以問題引領(lǐng)教學(xué)之《方程的根與函數(shù)的零點》

傅小云

摘 要：本文以《方程的根與函數(shù)的零點》為背景通過設(shè)計一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，理解概念。

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計 問題

中圖分類號：G448 文獻標識碼：A 文章編號：1672-8882（2014）10-006-01

一、前言

本文以《普通高中課程標準實驗教課書數(shù)學(xué)I必修本（A版）》第三章第一課時3.1.1方程的根與函數(shù)的零點為背景，根據(jù)本節(jié)重點：①函數(shù)零點與方程根之間的關(guān)系；②連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法；難點：①發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系；②探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法。把知識轉(zhuǎn)化為一系列的問題，用問題來組織教學(xué)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，提高對函數(shù)零點概念和零點存在性定理的認識，從而養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的習(xí)慣，并加深對知識的理解。

高一年學(xué)生的動手動腦能力、觀察能力和語言表達能力還沒有很全面發(fā)展，所以在學(xué)習(xí)本節(jié)課的時候仍然會遇到很多問題。因此，本節(jié)課教學(xué)設(shè)計將從學(xué)生熟悉的一次函數(shù)入手介紹函數(shù)的零點，環(huán)環(huán)緊扣提出問題讓學(xué)生思考，將學(xué)生至于主動地位，利用其好奇與探索的心理，調(diào)動他們的思維積極性和主動性，增強他們觀察問題、分析問題和解決問題的欲望，從而挖掘?qū)W生綜合潛能和提高自主學(xué)習(xí)的能力。

基于以上，教學(xué)過程設(shè)計如下：

（一）方程的根與函數(shù)的零點以及零點存在性的探索

1、引入課題

問題1：蘇軾的《題西林壁》這樣寫到：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同；不識廬山真面目，只緣身在此山中?！睆脑娭心阕x到了什么？

生：它告訴我們想要了解廬山真面目，必須要從不同角度看待問題。

第一階段設(shè)計意圖

零點就是從函數(shù)的角度看其對應(yīng)方程的解，從古詩引入，不僅有利于活躍課堂氣氛，同時可以讓學(xué)生體驗到本節(jié)課的精髓，從不同的角度看問題。

2、方程的根與函數(shù)的零點

問題2：請同學(xué)們說說y=x+3從函數(shù)的角度是什么？它的圖像是什么？從方程的角度看它又是什么？

生：一次函數(shù)，直線，二元一次方程。

問題3：令y=0，則x=-3，-3從代數(shù)的角度看它是函數(shù)y=x+3所對應(yīng)的方程x+3=0的解，那么幾何角度看是什么？

生：函數(shù)y=x+3與x軸交點的橫坐標。-----幾何法

師：教師引導(dǎo)學(xué)生推廣到一般的方程和函數(shù)，引出零點概念。

零點概念：對于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）（x∈D）的。

問題4：[分組討論]二次函數(shù) ， ， 的零點個數(shù)分別有幾個？可以從哪幾個角度去判斷？

生：學(xué)生分組討論完成問題4，各小組選派代表上臺展示成果，教師適時點撥，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)、幾何角度歸納方法。

追問：二次函數(shù) 的零點個數(shù)還可以通過什么判斷？

生：△>0，二次函數(shù)有兩個零點；△=0，二次函數(shù)有一個零點

△<0，二次函數(shù)無零點.

問題5：請同學(xué)總結(jié)下求函數(shù)零點的常用方法？

生：可以解方程 而得到（代數(shù)法）；

可以利用函數(shù) 的圖像找出零點.（幾何法）

第二階段設(shè)計意圖

本節(jié)主要是讓學(xué)生理解函數(shù)零點的定義，一次函數(shù)相比二次函數(shù)，學(xué)生更為熟悉，以一次函數(shù)作為引入，更有利于學(xué)生理解、掌握零點的概念。在以二次函數(shù)設(shè)置習(xí)題，逐步突破重點。

3、零點存在性的探索

問題6：請同學(xué)們用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖1 A、B兩點，觀察所畫曲線與直線x軸有怎樣的關(guān)系？

圖1

生：畫出連接A、B兩點的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與x軸相交。

師：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖像，形成結(jié)論：

一般地，我們有：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

問題7：[獨立探究]閱讀并思考下列問題：

（1）從上述結(jié)論中可看出，函數(shù)具備了哪些條件，就可斷言它有零點存在呢？

（2）如果函數(shù)具備上述兩個條件時，函數(shù)有多少零點呢？

（3）如果把結(jié)論中的條件“圖像連續(xù)不斷”除去不要，又會怎樣呢？

（4）如果把結(jié)論中的條件“f（a）f（b）<0”去掉呢？

（5）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，一定能得出f（a）·f（b）<0的結(jié)論嗎？

（6）在什么樣的條件下，就可確定零點的個數(shù)呢，零點的個數(shù)是惟一的呢？

師：學(xué)生先獨立完成上述問題，對于無法完成的問題可以進行小組討論。老師巡視，并給以必要的指導(dǎo)。最后抽點不同層次的學(xué)生進行交流展示。

第三階段設(shè)計意圖：

教師引導(dǎo)學(xué)生探索、歸納、總結(jié)函數(shù)零點存在定理，培養(yǎng)歸納總結(jié)能力和邏輯思維。

（二）課堂小結(jié)

問題8：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？你感受到哪些思想方法？你還有什么困惑？

設(shè)計意圖：

問題8的設(shè)計在于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，改變傳統(tǒng)由教師總結(jié)的方式，把課堂還給學(xué)生，讓他們在學(xué)習(xí)中總結(jié)，反思，構(gòu)建知識體系。

（三）設(shè)計感想

對于函數(shù)的零點教學(xué)，以往的授課都是參照課本從二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系引入零點的概念，但這種教學(xué)對于基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生來講，他可能忙于求值，畫二次函數(shù)圖像，而無法充分理解函數(shù)與方程二者之間的關(guān)系，本節(jié)課以一次函數(shù)的圖像與對應(yīng)的一元一次方程的關(guān)系為突破口，探索方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，再以二次函數(shù)為例題，進行拓展，螺旋式上升，有利于學(xué)生掌握知識，理解概念。

其次，改變傳統(tǒng)講練模式，以問題為主線，通過小組合作探究，倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的探索精神和嚴密思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。