編好數(shù)學(xué)教學(xué)案，讓學(xué)生逐步“會(huì)學(xué)”

【摘 要】本文以因式分解為例，突出了初中數(shù)學(xué)教學(xué)案的編寫(xiě)過(guò)程中的三個(gè)剖析：教學(xué)內(nèi)容剖析、學(xué)情剖析、教學(xué)過(guò)程剖析。結(jié)合具體的教學(xué)過(guò)程，闡釋了如何從幫助學(xué)生理解知識(shí)、培養(yǎng)思維、提升自主學(xué)習(xí)能力這三個(gè)維度去設(shè)計(jì)和實(shí)施好教學(xué)案。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 教學(xué)案 知識(shí) 思維 自主學(xué)習(xí)能力

一、明確教學(xué)案編寫(xiě)目的

經(jīng)過(guò)反復(fù)學(xué)習(xí)、研討，我校數(shù)學(xué)教師逐步明確了數(shù)學(xué)教學(xué)案編寫(xiě)的目的：（1）理解知識(shí)——深入探究數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中的思想方法；（2）培養(yǎng)思維——兩種推理，即歸納與演繹的融合；（3）提升自主學(xué)習(xí)能力——從如何教會(huì)學(xué)生到如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。在明確編寫(xiě)理念的基礎(chǔ)上，逐步構(gòu)建教學(xué)案的框架：學(xué)習(xí)準(zhǔn)備（課前導(dǎo)學(xué)、情境創(chuàng)設(shè)）——探索討論（探索討論、嘗試解決）——反思檢測(cè)（小結(jié)反思、自我反饋、拓展提高）。下面以蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)“9.5多項(xiàng)式的因式分解”第二課時(shí)——平方差公式為例，談?wù)勈褂迷摻虒W(xué)案進(jìn)行課堂教學(xué)的情況。

二、剖析教學(xué)的起點(diǎn)

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，它是分式約分計(jì)算、解方程及代數(shù)恒等變形等的基礎(chǔ)。本課是在學(xué)生已掌握多項(xiàng)式乘法公式和因式分解的提公因式法的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)乘法公式中的平方差公式的再認(rèn)識(shí)，用平方差公式進(jìn)行因式分解。因此，本課在知識(shí)上，要使學(xué)生理解并掌握運(yùn)用平方差公式因式分解；在思想方法上，要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、整體化思想。

（二）學(xué)情分析

知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生已學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行整式乘法、計(jì)算求值，會(huì)用提公因式法進(jìn)行因式分解，初步理解整式乘法和因式分解的關(guān)系。

思維基礎(chǔ)：學(xué)生習(xí)慣于順向思考；對(duì)公式中字母表示的意義認(rèn)識(shí)還不夠深刻。

自主學(xué)習(xí)能力基礎(chǔ)：初中階段是學(xué)生自我監(jiān)控學(xué)習(xí)各方面策略發(fā)展較快和提高較多的時(shí)期。因此，根據(jù)學(xué)生在自主學(xué)習(xí)方面的已有經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)內(nèi)容，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視滲透學(xué)習(xí)策略。

（三）學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計(jì)

（1）利用平方差公式進(jìn)行因式分解并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用。（2）經(jīng)歷通過(guò)整式乘法逆向變形得出因式分解公式的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的逆向思考和推理問(wèn)題的能力；通過(guò)因式分解具體問(wèn)題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的整體化思想。（3）通過(guò)實(shí)際情境及問(wèn)題的具體探索過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生通過(guò)反思小結(jié)等，逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

三、設(shè)計(jì)完整的教學(xué)過(guò)程

（一）情境創(chuàng)設(shè)

（出示圖片）這是我們學(xué)校美麗的一角。我們希望在教學(xué)樓前修一座半徑為3.5m的圓形花壇，花壇中央修一個(gè)半徑為1.5m的圓形噴水池，四周呈圓環(huán)形進(jìn)行綠化，使得校園更美麗。你能比較快地求出圓環(huán)綠化區(qū)的面積S嗎？（結(jié)果保留π）

（設(shè)計(jì)意圖：由實(shí)際問(wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。）

在“情境創(chuàng)設(shè)”板塊，設(shè)置引發(fā)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)、探究欲望的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，使他們產(chǎn)生好奇心和學(xué)習(xí)欲望，為探索討論作準(zhǔn)備。

（二）探索討論

師：解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不需要考慮綠化、水池等具體物體，畫(huà)出圓環(huán)如圖，你能表示圓環(huán)面積S嗎？

生：S=π（3.52-1.52）。

師：下一步如何計(jì)算？

生：把公因數(shù)提出來(lái)。

師：怎樣快速求3.52-1.52這兩個(gè)數(shù)的平方差？這樣做的根據(jù)是什么？

生：3.52-1.52=（3.5+1.5）（3.5-1.5）。根據(jù)平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）求得的。

師：（a+b）（a-b）=a2-b2。這是我們前面學(xué)過(guò)的平方差乘法公式，但今天是如何利用這公式的呢？

生：從右至左逆用平方差乘法公式。

師：如果數(shù)字3.5和1.5看成字母a、b，得到怎樣的公式？

生：可得公式a2-b2=（a+b）（a-b）。

師：平方差乘法公式逆向用，將平方差形式（多項(xiàng)式）化為乘積形式的變形稱(chēng)為什么？

生：因式分解。

師：噢，原來(lái)只要將平方差的乘法公式逆向用，就得到平方差的因式分解公式。今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)“多項(xiàng)式的因式分解——平方差公式”。前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了因式分解的哪種方法？

生：提公因式法。

師：今天這種利用平方差公式進(jìn)行因式分解的方法，你們準(zhǔn)備給它命名為什么方法？

生：運(yùn)用公式法。

師：今天學(xué)習(xí)因式分解的第二種方法“運(yùn)用公式法”，請(qǐng)把下列A組各多項(xiàng)式因式分解，并說(shuō)說(shuō)分別把什么看作了公式中的a、b？

A組：

（1）a2-16=a2-（ ）2=（a+ ）（a- ）

（2）64-b2=（ ）2-b2=（ +b）（ -b）

（3）a2-9b2=（ ）2-（ ）2=（ ）（ ）

師：利用平方差公式填空，使B組各式等號(hào)成立。

B組：

（1）（a+7）（a-7）=（ ）2

（2）（ ）（ ）=36-25b2

（3）9m2-n2=（ ）（ ）

（4）x2y2-z2=（ ）（ ）

B組的第（1）（2）兩題從左到右是什么變形？第（3）（4）兩題從左到右是什么變形？因式分解與整式乘法兩種變形有什么關(guān)系？

生：整式乘法、因式分解、因式分解與整式乘法是互逆的變形。

師：（1）（2）與（3）（4）是互逆的變形，但都運(yùn)用了平方差公式。所以我們要養(yǎng)成這樣的習(xí)慣——對(duì)公式既要從左至右順著用，也要從右至左逆著用，學(xué)會(huì)逆向思考問(wèn)題。

仔細(xì)觀(guān)察能用平方差公式因式分解的多項(xiàng)式有何特征？分解得到的結(jié)果有何特征？你能用文字語(yǔ)言來(lái)表達(dá)公式嗎？

生：左邊是多項(xiàng)式——（1）二項(xiàng)式；（2）兩項(xiàng)異號(hào)；（3）每一項(xiàng)都是平方式。右邊是乘積式——兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積。文字語(yǔ)言表達(dá)——兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。

（設(shè)計(jì)意圖：“探索討論”板塊一般采用設(shè)置問(wèn)題串的方式，在一系列相關(guān)問(wèn)題引領(lǐng)下，導(dǎo)疑、導(dǎo)思、導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究。問(wèn)題串中，應(yīng)注意認(rèn)知的層次性、形式的多樣性，除了知識(shí)性問(wèn)題、推理性問(wèn)題外，還應(yīng)有質(zhì)疑性問(wèn)題、引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題的問(wèn)題等，由此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和批判性思維。）

上述教學(xué)過(guò)程中，教師首先將數(shù)學(xué)對(duì)象從實(shí)際問(wèn)題情境中分離出來(lái)，只考慮空間形式與數(shù)量關(guān)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。然后通過(guò)提取公因數(shù)，用平方差公式簡(jiǎn)化計(jì)算，復(fù)習(xí)提公因式法；通過(guò)抽象度較低的具體數(shù)字運(yùn)算，引出用平方差公式把兩數(shù)的平方差化為乘積式。接下來(lái)，從兩條路徑引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培養(yǎng)逆向思維；二是從具體數(shù)字到一般字母表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括能力。再正面強(qiáng)化，逐步讓學(xué)生體會(huì)其中的a、b可以從數(shù)字、單獨(dú)字母到一般單項(xiàng)式。在知識(shí)上，深化認(rèn)識(shí)整式乘法與因式分解之間的關(guān)系；在思維上，培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的意識(shí)與習(xí)慣；在微觀(guān)上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀(guān)察——對(duì)多項(xiàng)式而言，主要是項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的符號(hào)和次數(shù)。這樣，由具體問(wèn)題歸納得到一般情形，培養(yǎng)了學(xué)生的宏觀(guān)思維。

（三）嘗試解決

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多項(xiàng)式能用平方差公式因式分解嗎？為什么？如果能，請(qǐng)因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

師：觀(guān)察第（5）題的特征，它是二項(xiàng)式嗎？如何解決這問(wèn)題？

生：把x+y看作一個(gè)整體，把它看成公式中的a，就可以看成是二項(xiàng)式進(jìn)行因式分解了。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胂肟?，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是單項(xiàng)式（單獨(dú)的數(shù)字、字母，一般單項(xiàng)式），也可以是多項(xiàng)式。

師：觀(guān)察多項(xiàng)式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你會(huì)聯(lián)想用什么方法因式分解？分別把什么看成公式中的a與b？

生：分別把5（a+b）和3（a-b）整體地看成公式中的a與b。

師：你能說(shuō)說(shuō)運(yùn)用平方差公式因式分解的一般步驟嗎？你認(rèn)為還要注意什么問(wèn)題？

生：（1）寫(xiě)成平方差的形式；（2）運(yùn)用公式寫(xiě)成兩數(shù)和與差的積的形式；（3）化簡(jiǎn)各因式。注意：各因式要分解到不能再分解為止。

師：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

師：在邊長(zhǎng)為16.4cm的正方形紙片的四角各剪去一邊長(zhǎng)為1.8cm的正方形，求余下的紙片的面積。

（設(shè)計(jì)意圖：在“嘗試解決”板塊，要精選例子，讓學(xué)生在問(wèn)題的嘗試解決過(guò)程中深化所學(xué)的新知，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的效果，從中發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題，并作出補(bǔ)救。也就是說(shuō)，讓學(xué)生通過(guò)例子進(jìn)一步深化理解相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法。）

上述教學(xué)過(guò)程，教師先進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)公式特征，體會(huì)其中可以是單項(xiàng)式（包括數(shù)、字母），也可以是多項(xiàng)式，培養(yǎng)學(xué)生的整體化思想。學(xué)會(huì)拓展，是學(xué)習(xí)能力的一個(gè)重要方面。然后引導(dǎo)學(xué)生先觀(guān)察問(wèn)題特征，再聯(lián)想相關(guān)公式并進(jìn)行比較，最后要檢驗(yàn)。再鞏固、深化運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。筆者以為，就初中數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)而言，應(yīng)達(dá)到基本概念理解深刻，基本技能熟練掌握。最后將問(wèn)題引向?qū)嶋H應(yīng)用。與“情境創(chuàng)設(shè)”相呼應(yīng)：數(shù)學(xué)來(lái)自于實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題解決，以此提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

（四）小結(jié)反思

師：想一想，這節(jié)課你有什么收獲？學(xué)到了哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些方法？有何感悟？

（設(shè)計(jì)意圖：在“小結(jié)反思”板塊，重點(diǎn)設(shè)置培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知水平的問(wèn)題。在問(wèn)題引領(lǐng)下，讓學(xué)生通過(guò)文字語(yǔ)言，反思自己學(xué)習(xí)中的得與失，調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)策略與方法。在問(wèn)題引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)中的得與失，從知識(shí)、思維方式等方面對(duì)所學(xué)進(jìn)行整理、小結(jié)。養(yǎng)成反思習(xí)慣，是學(xué)習(xí)能力的重要標(biāo)志。）

（五）拓展提高

師：因式分解：a4-81。觀(guān)察多項(xiàng)式的特征，你會(huì)聯(lián)想運(yùn)用什么方法進(jìn)行因式分解？題目中出現(xiàn)了4次方，如何解決？分別把什么看成公式中的a和b？

（設(shè)計(jì)意圖：緊扣所學(xué)知識(shí)與方法，根據(jù)學(xué)生情況，適當(dāng)增加問(wèn)題探究的深度與難度。本題的難點(diǎn)在于將a4看成（a2）2（比將4y2看成（2y）2難度大），兩次運(yùn)用平方差公式把各因式分解到不能再分解為止。）

（六）自我反饋

“反思檢測(cè)”板塊包含小結(jié)反思、自我反饋、拓展提高三個(gè)欄目，分別從文本（陳述性知識(shí)）、基礎(chǔ)操練（程序性知識(shí)）、拓展提高（延伸性知識(shí)）對(duì)所學(xué)的知識(shí)、方法進(jìn)行反思檢測(cè)，由此培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣、自我檢測(cè)與評(píng)價(jià)能力，提升學(xué)生的元認(rèn)知水平。

【參考文獻(xiàn)】

湯炳興，葉紅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)案編寫(xiě)的理念、框架與過(guò)程[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（2）.

（作者單位：江蘇省常熟市外國(guó)語(yǔ)初級(jí)中學(xué)）

生：左邊是多項(xiàng)式——（1）二項(xiàng)式；（2）兩項(xiàng)異號(hào)；（3）每一項(xiàng)都是平方式。右邊是乘積式——兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積。文字語(yǔ)言表達(dá)——兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。

（設(shè)計(jì)意圖：“探索討論”板塊一般采用設(shè)置問(wèn)題串的方式，在一系列相關(guān)問(wèn)題引領(lǐng)下，導(dǎo)疑、導(dǎo)思、導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究。問(wèn)題串中，應(yīng)注意認(rèn)知的層次性、形式的多樣性，除了知識(shí)性問(wèn)題、推理性問(wèn)題外，還應(yīng)有質(zhì)疑性問(wèn)題、引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題的問(wèn)題等，由此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和批判性思維。）

上述教學(xué)過(guò)程中，教師首先將數(shù)學(xué)對(duì)象從實(shí)際問(wèn)題情境中分離出來(lái)，只考慮空間形式與數(shù)量關(guān)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。然后通過(guò)提取公因數(shù)，用平方差公式簡(jiǎn)化計(jì)算，復(fù)習(xí)提公因式法；通過(guò)抽象度較低的具體數(shù)字運(yùn)算，引出用平方差公式把兩數(shù)的平方差化為乘積式。接下來(lái)，從兩條路徑引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培養(yǎng)逆向思維；二是從具體數(shù)字到一般字母表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括能力。再正面強(qiáng)化，逐步讓學(xué)生體會(huì)其中的a、b可以從數(shù)字、單獨(dú)字母到一般單項(xiàng)式。在知識(shí)上，深化認(rèn)識(shí)整式乘法與因式分解之間的關(guān)系；在思維上，培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的意識(shí)與習(xí)慣；在微觀(guān)上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀(guān)察——對(duì)多項(xiàng)式而言，主要是項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的符號(hào)和次數(shù)。這樣，由具體問(wèn)題歸納得到一般情形，培養(yǎng)了學(xué)生的宏觀(guān)思維。

（三）嘗試解決

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多項(xiàng)式能用平方差公式因式分解嗎？為什么？如果能，請(qǐng)因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

師：觀(guān)察第（5）題的特征，它是二項(xiàng)式嗎？如何解決這問(wèn)題？

生：把x+y看作一個(gè)整體，把它看成公式中的a，就可以看成是二項(xiàng)式進(jìn)行因式分解了。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胂肟矗街械腶、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是單項(xiàng)式（單獨(dú)的數(shù)字、字母，一般單項(xiàng)式），也可以是多項(xiàng)式。

師：觀(guān)察多項(xiàng)式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你會(huì)聯(lián)想用什么方法因式分解？分別把什么看成公式中的a與b？

生：分別把5（a+b）和3（a-b）整體地看成公式中的a與b。

師：你能說(shuō)說(shuō)運(yùn)用平方差公式因式分解的一般步驟嗎？你認(rèn)為還要注意什么問(wèn)題？

生：（1）寫(xiě)成平方差的形式；（2）運(yùn)用公式寫(xiě)成兩數(shù)和與差的積的形式；（3）化簡(jiǎn)各因式。注意：各因式要分解到不能再分解為止。

師：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

師：在邊長(zhǎng)為16.4cm的正方形紙片的四角各剪去一邊長(zhǎng)為1.8cm的正方形，求余下的紙片的面積。

（設(shè)計(jì)意圖：在“嘗試解決”板塊，要精選例子，讓學(xué)生在問(wèn)題的嘗試解決過(guò)程中深化所學(xué)的新知，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的效果，從中發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題，并作出補(bǔ)救。也就是說(shuō)，讓學(xué)生通過(guò)例子進(jìn)一步深化理解相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法。）

上述教學(xué)過(guò)程，教師先進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)公式特征，體會(huì)其中可以是單項(xiàng)式（包括數(shù)、字母），也可以是多項(xiàng)式，培養(yǎng)學(xué)生的整體化思想。學(xué)會(huì)拓展，是學(xué)習(xí)能力的一個(gè)重要方面。然后引導(dǎo)學(xué)生先觀(guān)察問(wèn)題特征，再聯(lián)想相關(guān)公式并進(jìn)行比較，最后要檢驗(yàn)。再鞏固、深化運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。筆者以為，就初中數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)而言，應(yīng)達(dá)到基本概念理解深刻，基本技能熟練掌握。最后將問(wèn)題引向?qū)嶋H應(yīng)用。與“情境創(chuàng)設(shè)”相呼應(yīng)：數(shù)學(xué)來(lái)自于實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題解決，以此提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

（四）小結(jié)反思

師：想一想，這節(jié)課你有什么收獲？學(xué)到了哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些方法？有何感悟？

（設(shè)計(jì)意圖：在“小結(jié)反思”板塊，重點(diǎn)設(shè)置培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知水平的問(wèn)題。在問(wèn)題引領(lǐng)下，讓學(xué)生通過(guò)文字語(yǔ)言，反思自己學(xué)習(xí)中的得與失，調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)策略與方法。在問(wèn)題引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)中的得與失，從知識(shí)、思維方式等方面對(duì)所學(xué)進(jìn)行整理、小結(jié)。養(yǎng)成反思習(xí)慣，是學(xué)習(xí)能力的重要標(biāo)志。）

（五）拓展提高

師：因式分解：a4-81。觀(guān)察多項(xiàng)式的特征，你會(huì)聯(lián)想運(yùn)用什么方法進(jìn)行因式分解？題目中出現(xiàn)了4次方，如何解決？分別把什么看成公式中的a和b？

（設(shè)計(jì)意圖：緊扣所學(xué)知識(shí)與方法，根據(jù)學(xué)生情況，適當(dāng)增加問(wèn)題探究的深度與難度。本題的難點(diǎn)在于將a4看成（a2）2（比將4y2看成（2y）2難度大），兩次運(yùn)用平方差公式把各因式分解到不能再分解為止。）

（六）自我反饋

“反思檢測(cè)”板塊包含小結(jié)反思、自我反饋、拓展提高三個(gè)欄目，分別從文本（陳述性知識(shí)）、基礎(chǔ)操練（程序性知識(shí)）、拓展提高（延伸性知識(shí)）對(duì)所學(xué)的知識(shí)、方法進(jìn)行反思檢測(cè)，由此培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣、自我檢測(cè)與評(píng)價(jià)能力，提升學(xué)生的元認(rèn)知水平。

【參考文獻(xiàn)】

湯炳興，葉紅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)案編寫(xiě)的理念、框架與過(guò)程[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（2）.

（作者單位：江蘇省常熟市外國(guó)語(yǔ)初級(jí)中學(xué)）

生：左邊是多項(xiàng)式——（1）二項(xiàng)式；（2）兩項(xiàng)異號(hào)；（3）每一項(xiàng)都是平方式。右邊是乘積式——兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積。文字語(yǔ)言表達(dá)——兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。

（設(shè)計(jì)意圖：“探索討論”板塊一般采用設(shè)置問(wèn)題串的方式，在一系列相關(guān)問(wèn)題引領(lǐng)下，導(dǎo)疑、導(dǎo)思、導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究。問(wèn)題串中，應(yīng)注意認(rèn)知的層次性、形式的多樣性，除了知識(shí)性問(wèn)題、推理性問(wèn)題外，還應(yīng)有質(zhì)疑性問(wèn)題、引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題的問(wèn)題等，由此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和批判性思維。）

上述教學(xué)過(guò)程中，教師首先將數(shù)學(xué)對(duì)象從實(shí)際問(wèn)題情境中分離出來(lái)，只考慮空間形式與數(shù)量關(guān)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。然后通過(guò)提取公因數(shù)，用平方差公式簡(jiǎn)化計(jì)算，復(fù)習(xí)提公因式法；通過(guò)抽象度較低的具體數(shù)字運(yùn)算，引出用平方差公式把兩數(shù)的平方差化為乘積式。接下來(lái)，從兩條路徑引出因式分解的平方差公式：一是逆向看平方差乘法公式，培養(yǎng)逆向思維；二是從具體數(shù)字到一般字母表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的抽象概括能力。再正面強(qiáng)化，逐步讓學(xué)生體會(huì)其中的a、b可以從數(shù)字、單獨(dú)字母到一般單項(xiàng)式。在知識(shí)上，深化認(rèn)識(shí)整式乘法與因式分解之間的關(guān)系；在思維上，培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的意識(shí)與習(xí)慣；在微觀(guān)上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀(guān)察——對(duì)多項(xiàng)式而言，主要是項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的符號(hào)和次數(shù)。這樣，由具體問(wèn)題歸納得到一般情形，培養(yǎng)了學(xué)生的宏觀(guān)思維。

（三）嘗試解決

1.把下列各式分解因式：

（1）4x2-y2 （2）0.16a2-46b2

2.下列多項(xiàng)式能用平方差公式因式分解嗎？為什么？如果能，請(qǐng)因式分解。

（1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2+y2

（4）x2+y2 （5）（x+y）2-4

師：觀(guān)察第（5）題的特征，它是二項(xiàng)式嗎？如何解決這問(wèn)題？

生：把x+y看作一個(gè)整體，把它看成公式中的a，就可以看成是二項(xiàng)式進(jìn)行因式分解了。

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胂肟?，公式中的a、b可以是些什么？

生：公式中的a、b可以是單項(xiàng)式（單獨(dú)的數(shù)字、字母，一般單項(xiàng)式），也可以是多項(xiàng)式。

師：觀(guān)察多項(xiàng)式25（a+b）2-9（a-b）2的特征，你會(huì)聯(lián)想用什么方法因式分解？分別把什么看成公式中的a與b？

生：分別把5（a+b）和3（a-b）整體地看成公式中的a與b。

師：你能說(shuō)說(shuō)運(yùn)用平方差公式因式分解的一般步驟嗎？你認(rèn)為還要注意什么問(wèn)題？

生：（1）寫(xiě)成平方差的形式；（2）運(yùn)用公式寫(xiě)成兩數(shù)和與差的積的形式；（3）化簡(jiǎn)各因式。注意：各因式要分解到不能再分解為止。

師：把下列各式因式分解：

（1）-x2+81y2 （2）（x+2）2-9 （3）9（a-b）2-（a+b）2

師：在邊長(zhǎng)為16.4cm的正方形紙片的四角各剪去一邊長(zhǎng)為1.8cm的正方形，求余下的紙片的面積。

（設(shè)計(jì)意圖：在“嘗試解決”板塊，要精選例子，讓學(xué)生在問(wèn)題的嘗試解決過(guò)程中深化所學(xué)的新知，檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的效果，從中發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題，并作出補(bǔ)救。也就是說(shuō)，讓學(xué)生通過(guò)例子進(jìn)一步深化理解相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法。）

上述教學(xué)過(guò)程，教師先進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)公式特征，體會(huì)其中可以是單項(xiàng)式（包括數(shù)、字母），也可以是多項(xiàng)式，培養(yǎng)學(xué)生的整體化思想。學(xué)會(huì)拓展，是學(xué)習(xí)能力的一個(gè)重要方面。然后引導(dǎo)學(xué)生先觀(guān)察問(wèn)題特征，再聯(lián)想相關(guān)公式并進(jìn)行比較，最后要檢驗(yàn)。再鞏固、深化運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。筆者以為，就初中數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)而言，應(yīng)達(dá)到基本概念理解深刻，基本技能熟練掌握。最后將問(wèn)題引向?qū)嶋H應(yīng)用。與“情境創(chuàng)設(shè)”相呼應(yīng)：數(shù)學(xué)來(lái)自于實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題解決，以此提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

（四）小結(jié)反思

師：想一想，這節(jié)課你有什么收獲？學(xué)到了哪些知識(shí)？運(yùn)用了哪些方法？有何感悟？

（設(shè)計(jì)意圖：在“小結(jié)反思”板塊，重點(diǎn)設(shè)置培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知水平的問(wèn)題。在問(wèn)題引領(lǐng)下，讓學(xué)生通過(guò)文字語(yǔ)言，反思自己學(xué)習(xí)中的得與失，調(diào)節(jié)自己的學(xué)習(xí)策略與方法。在問(wèn)題引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)中的得與失，從知識(shí)、思維方式等方面對(duì)所學(xué)進(jìn)行整理、小結(jié)。養(yǎng)成反思習(xí)慣，是學(xué)習(xí)能力的重要標(biāo)志。）

（五）拓展提高

師：因式分解：a4-81。觀(guān)察多項(xiàng)式的特征，你會(huì)聯(lián)想運(yùn)用什么方法進(jìn)行因式分解？題目中出現(xiàn)了4次方，如何解決？分別把什么看成公式中的a和b？

（設(shè)計(jì)意圖：緊扣所學(xué)知識(shí)與方法，根據(jù)學(xué)生情況，適當(dāng)增加問(wèn)題探究的深度與難度。本題的難點(diǎn)在于將a4看成（a2）2（比將4y2看成（2y）2難度大），兩次運(yùn)用平方差公式把各因式分解到不能再分解為止。）

（六）自我反饋

“反思檢測(cè)”板塊包含小結(jié)反思、自我反饋、拓展提高三個(gè)欄目，分別從文本（陳述性知識(shí)）、基礎(chǔ)操練（程序性知識(shí)）、拓展提高（延伸性知識(shí)）對(duì)所學(xué)的知識(shí)、方法進(jìn)行反思檢測(cè)，由此培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣、自我檢測(cè)與評(píng)價(jià)能力，提升學(xué)生的元認(rèn)知水平。

【參考文獻(xiàn)】

湯炳興，葉紅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)案編寫(xiě)的理念、框架與過(guò)程[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（2）.

（作者單位：江蘇省常熟市外國(guó)語(yǔ)初級(jí)中學(xué)）