具有脈沖的非線性微分方程邊值問(wèn)題的多個(gè)正解

吳麗嬌，王全義

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021）

脈沖微分方程是微分方程中一個(gè)新的分支，它在物理、化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、工業(yè)機(jī)器人技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中都有很好的應(yīng)用.脈沖微分方程邊值問(wèn)題的正解的存在性問(wèn)題受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-10］.例如，文獻(xiàn)［5］運(yùn)用錐壓縮與不動(dòng)點(diǎn)定理，研究以下一類(lèi)具有脈沖的一階微分方程邊值問(wèn)題

正解的存在性問(wèn)題.其中：0＝t0＜t1＜…＜tp＜tp+1＝T，f∶［0，T］×［0，+∞）→［0，+∞）是一個(gè)脈沖Caratheodory函數(shù)，Ik∶［0，+∞）→［0，+∞）是連續(xù)的.

文獻(xiàn)［10］運(yùn)用錐壓縮與不動(dòng)點(diǎn)定理，研究具有脈沖的一階非線性微分方程邊值問(wèn)題

的正解存在性問(wèn)題.其中：0＝t0＜t1＜…＜tp＜tp+1＝ω；a∶［0，ω］×［0，+∞）→R連續(xù)；Ik∶［0，+∞）→［0，+∞）（k＝1，…，p）是連續(xù)的；f∶［0，ω］×［0，+∞）→［0，+∞）；ω＞0是常數(shù).所得結(jié)果推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)［5］的相關(guān)結(jié)果.本文利用Avery-Henderson不動(dòng)點(diǎn)定理以及一些分析技巧，得出了該脈沖非線性微分方程的邊值問(wèn)題存在多個(gè)正解的一些充分條件的新結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)及引理

定義1 設(shè)X是一個(gè)Banach空間，K是X中的一個(gè)非空子集，且滿足：1）對(duì)任意的x，y∈K和實(shí)數(shù)α，β≥0，有αx+βy∈K；2）若x，-x∈K，則x＝0.那么稱(chēng)K為X中的一個(gè)錐.

定義2 設(shè)X是一個(gè)Banach空間，K是X中的一個(gè)錐.定義K上的偏序：如果對(duì)任意的x，y∈K，x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈K.

定義3 設(shè)X是一個(gè)Banach空間，K是X中的一個(gè)錐.如果映射φ∶K→［0，+∞）滿足對(duì)任意的x，y∈K，x≤y，就有φ（x）≤φ（y），則稱(chēng)映射φ是錐K上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)的增泛函.

假設(shè)φ是錐K上的一個(gè)非負(fù)連續(xù)的增泛函，K?X，?d＞0，記集合K（φ，d）＝｛x∈K｜φ（x）＜d｝；?K（φ，d）＝｛x∈K｜φ（x）＝d｝；K（φ，d）＝｛x∈K｜φ（x）≤d｝.

引理1［11］（Avery-Henderson）設(shè)K是X中的一個(gè)錐.令γ，φ是K上的非負(fù)連續(xù)增泛函，θ是K上的非負(fù)連續(xù)泛函，其中θ（0）＝0.存在常數(shù)c＞0和M＞0，對(duì)?x∈K（γ，c），使得γ（x）≤θ（x）≤φ（x），‖x‖≤Mγ（x）.假設(shè)存在一個(gè)全連續(xù)算子T∶K（γ，c）→K，對(duì)常數(shù)0＜a＜b＜c，0＜λ＜1及x∈?K（θ，b）滿足θ（λx）≤λθ（x），且

1）γ（Tx）＞c，當(dāng)x∈?K（γ，c）時(shí)；

2）θ（Tx）＜b，當(dāng)x∈?K（θ，b）時(shí)；

3）φ（Tx）＞a及K（φ，a）≠φ，當(dāng)x∈?K（φ，a）時(shí)，則算子T在K上至少存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2∈K（γ，c）使得a＜φ（x1），θ（x1）＜b，b＜θ（x2），γ（x2）＜c.

引理2［11］（Avery-Henderson）設(shè)K是X中的一個(gè)錐.令γ，φ是K上的非負(fù)連續(xù)增泛函，θ是K上的非負(fù)連續(xù)泛函，其中θ（0）＝0.存在常數(shù)c＞0和M＞0，對(duì)?x∈K（γ，c），使得γ（x）≤θ（x）≤φ（x），‖x‖≤Mγ（x）.假設(shè)存在一個(gè)全連續(xù)算子T∶K（γ，c）→K，對(duì)常數(shù)0＜a＜b＜c，0＜λ＜1及x∈?K（θ，b）滿足θ（λx）≤λθ（x），且

1）γ（Tx）＜c，當(dāng)x∈?K（γ，c）時(shí)；

2）θ（Tx）＞b，當(dāng)x∈?K（θ，b）時(shí)；

3）φ（Tx）＜a及K（φ，a）≠φ，當(dāng)x∈?K（φ，a）時(shí)，則算子T在K上至少存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2∈K（γ，c）使得a＜φ（x1），θ（x1）＜b，b＜θ（x2），γ（x2）＜c.

下面令

定義4 函數(shù)f∶［0，ω］×［0，+∞）→［0，+∞）是一個(gè)L1-Caratheodory函數(shù)，如果1）對(duì)于?u∈R，f（·，u）∈X；2）對(duì)于t∈［0，ω］，f（t，·）是連續(xù)的；3）對(duì)于每個(gè)q＞0，都存在hq∈L1［0，ω］，使得對(duì)于t∈［0，ω］，0≤u≤q，有｜f（t，u）｜≤hq（t）.

假設(shè)條件 H2）函數(shù)f∶［0，ω］×［0，+∞）→［0，+∞）是一個(gè)L1-Caratheodory函數(shù)成立.

引理3［10］如果條件H2）成立，則對(duì)于任意的u∈X且u（t）≥0，θk∈R，下列脈沖微分方程的邊值問(wèn)題

有一個(gè)解，即

其中

假設(shè)函數(shù)a1（t），a2（t）滿足條件 H1），現(xiàn)在定義函數(shù)

令

由a1（t），a2（t），a（t，x），G1（t，s），G2（t，s）的定義即得到如下引理4.

引理4 如果條件 H1），H2）成立，則對(duì)任意x∈X，（t，s）∈［0，ω］×［0，ω］，有

定義算子T∶K→X為

顯然有T∶K→X.

引理5 如果條件H1）成立，則算子T∶K→K.

由于文中的錐K是文獻(xiàn)［10］中的錐K的一個(gè)子集，且文中的算子T與文獻(xiàn)［10］中的算子T的表達(dá)式相同，故由文獻(xiàn)［10］中的引理6立即得到如下的引理.

引理6 如果條件H1），H2）成立，則算子T∶K→K是全連續(xù)的.

2 主要結(jié)果及證明

首先，取正數(shù)l1，l2滿足0＜l1＜t1＜l2＜t2＜ω，再取下列正數(shù)

并定義如下一些泛函，即

其中，x∈K.則顯然如下命題成立.

命題1 i）γ，θ，φ是關(guān)于x∈K的非負(fù)連續(xù)增泛函；

iii）對(duì)λ∈［0，1］，有θ（λx）≤θλ（x）.

證明 考慮由式（4）定義的算子T∶K→X.由引理5和引理6易知T∶K（γ，c）→K且T是全連續(xù)的.再考慮由式（5）～（7）定義的K上的3個(gè)非負(fù)連續(xù)增泛函γ（x），θ（x），φ（x）.

下面證明算子T滿足引理1中的所有條件.

由命題1的結(jié)論ii）可知：當(dāng)x∈?K（γ，c）時(shí)，可以得到

其中，x∈?K（γ，c）.即引理1的條件1被滿足.

①分娩方式：統(tǒng)計(jì)兩組產(chǎn)婦自然分娩率、難產(chǎn)率和剖宮產(chǎn)率。②產(chǎn)程進(jìn)展：比較兩組產(chǎn)婦第一產(chǎn)程、第二產(chǎn)程時(shí)間。③分娩結(jié)局：比較兩組產(chǎn)后出血、新生兒窒息、早產(chǎn)、新生兒死亡發(fā)生率。其中，產(chǎn)后出血指胎兒娩出后2 h產(chǎn)婦陰道出血量>500 mL；新生兒窒息指新生兒出生后1 min Apgar評(píng)分<7分。

其中，x∈?K（θ，b）.即引理1的條件2被滿足.

其中，?x∈?K（φ，a）.即引理1的條件3被滿足.

為了得到另一個(gè)新結(jié)果，取正數(shù)l1，l2滿足0＜l1＜t1＜l2＜t2＜ω，并定義如下一些新泛函（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，仍然采用前面的符號(hào)）.即有

其中，x∈K.則顯然如下命題成立.

命題2 i）γ，θ，φ是關(guān)于?x∈K的非負(fù)連續(xù)增泛函；

iii）對(duì)λ∈［0，1］有θ（λx）≤λθ（x）.

那么脈沖邊值問(wèn)題（1）至少存在兩個(gè)正解x1，x2∈K（γ，c），使得x1（l2）＞aη2，x1（l1）＜bη1，x2（l1）＞bη1，x2（l1）＜cη1（因篇幅限制，證略）.

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