例析中考中的開放探究型試題

玉榮參

隨著課程改革的全面推進(jìn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)開放性試題來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力，已成為教改的熱點(diǎn)，近幾年的中考試卷中，出現(xiàn)了大量符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平、設(shè)計(jì)優(yōu)美、個(gè)性獨(dú)特的開放題，此類試題越來越備受命題者的青睞，對(duì)同學(xué)們的綜合素質(zhì)要求也比較高，可以基礎(chǔ)性試題，也有綜合性的試題，在中考中所占比例在9%左右。為了突破這一障礙，筆者經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐與研究，現(xiàn)結(jié)合中考命題的經(jīng)驗(yàn)，以中考試題為例，對(duì)開放探究型試題進(jìn)行剖析，以求對(duì)教學(xué)有所啟迪和幫助。

一、條件開放型問題

【例1】 如圖1，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，并且BF=CE，∠B=∠E。

（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件（不再添加輔助線），使ΔABC≌ΔDEF，你添加的條件是 。

（2）添加了條件后，證明ΔABC≌ΔDEF。

（2011年廣西壯族自治區(qū)南寧市中考題）

評(píng)析：在ΔABC和ΔDEF中，已有BF=CE，∠B=∠E。若根據(jù)“SAS”判定，則可添加AB=DE；若根據(jù)“ASA”判定，則可添加∠ACB=∠DFE；若根據(jù)“AAS”判定，則可添加∠A=∠D。

解題思路點(diǎn)撥：在本題中，需要注意的是，三角形的判定條件中沒有“邊邊角”，所以不能添加AC=DF。

對(duì)于本例這類“添加條件”型開放題，要根據(jù)相關(guān)的定義、定理等，結(jié)合已給出的條件，尋求應(yīng)添加的條件。解決這樣的問題的一般思路是從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結(jié)論成立的條件，或把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出，逐個(gè)解析。

【例2】 在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=-2x+6的圖象無公共點(diǎn)，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是。（寫出一個(gè)符合條件的即可）

評(píng)析：反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=-2x+6的圖象無公共點(diǎn)，也就是由反比例函數(shù)與一次函數(shù)組成的方程組無解。

解題思路點(diǎn)拔：求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題時(shí)，往往將這兩個(gè)函數(shù)的解析式構(gòu)成方程組進(jìn)行求解。

二、結(jié)論開放型問題

【例3】拋物線y=-x2+bx+c的部分圖象如圖2所示，請(qǐng)寫出兩個(gè)與拋物線的解析式或圖象相關(guān)的正確結(jié)論： ，。（對(duì)稱軸，圖象與x軸正半軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)除外）

評(píng)析：我們可以從求bb，c的值，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，拋物線的增減性，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系等方面去尋找結(jié)論。

解題思路點(diǎn)拔：解答這類結(jié)論開放探究型問題時(shí)，要全面審視圖形所呈現(xiàn)的信息，并從圖象的特征及性質(zhì)出發(fā)進(jìn)行思考與探索，同時(shí)，要注意所得結(jié)論應(yīng)符合題目的要求。

【例4】圖3、圖4是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A和點(diǎn)B在小正方形的頂點(diǎn)上。

（1）在圖3中畫出ΔABC（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使ΔABC為直角三角形。（畫一個(gè)即可）

（2）在圖4中畫出ΔABD（點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上），使ΔABD為等腰三角形。（畫一個(gè)即可）

評(píng)析：答案不唯一。

（1）因?yàn)闄M、豎網(wǎng)格線是互相垂直，所以沿著過點(diǎn)A、B的網(wǎng)格線畫邊長(zhǎng)即可，所畫直角三角形如圖5、圖6，任意一個(gè)即可。

根據(jù)勾股定理，得AB=5，所以可根據(jù)勾股定理的逆定理，找一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)畫直角三角形。因?yàn)?2=()2+()2，所以另兩邊長(zhǎng)可畫成和，所畫三角形如圖7、圖8。

（2）因?yàn)锳B=5，所以再畫一條長(zhǎng)為5的邊即可得到等腰三角形，所畫三角形如圖9至圖12，任意畫一個(gè)即可。

解題思路點(diǎn)撥：本題是方案設(shè)計(jì)類開放題，這類試題答案往往不唯一，相同邊長(zhǎng)的正方形網(wǎng)格，是研究圖形性質(zhì)的很好的載體，如果線段在網(wǎng)格上，可以通過數(shù)網(wǎng)格得到線段的長(zhǎng)度，如果線段不在網(wǎng)格線上，還需要結(jié)合勾股定理解決問題。畫格點(diǎn)三角形的關(guān)鍵是畫格點(diǎn)線段，要先根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理得出三角形各邊的長(zhǎng)。

三、存在性探索型問題

【例5】如圖13，已各拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）、B（-3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C。

（1）求拋物線的函數(shù)解析式。

（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，以點(diǎn)A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且以AO為邊，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與ΔBOC相似？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

評(píng)析：（1）由于拋物線經(jīng)過A（-2，0）、B（-3，3）及原點(diǎn)O，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。

（2）根據(jù)平行四邊形 “對(duì)邊平行且相等” 的性質(zhì)，討論點(diǎn)D在對(duì)稱軸x=-1左右兩側(cè)的兩種情況，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）假設(shè)存在使ΔPMA與ΔBOC相似的點(diǎn)P。事先說明ΔBOC是直角三角形，再分兩種情況討論，①ΔAMP∽ ΔBOC，②ΔPMA∽ΔBOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解題思路點(diǎn)撥：對(duì)于存在性探索型問題，解題的思路通常是先假設(shè)存在，然后按照題意進(jìn)行合情推理或計(jì)算，最后看能得出合理的結(jié)論還是矛盾的結(jié)果。若是合理的結(jié)論，則說明存在；若是矛盾的結(jié)果，則說明不存在。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，中考中的開放探究型試題，不僅涉及的知識(shí)點(diǎn)豐富，形式多樣，難度也不盡相同，既有基礎(chǔ)性試題，也有綜合性的試題。同時(shí)，又能讓學(xué)生明晰一類題型的解題思路、方法和技巧，也提升了教師自身研題和教學(xué)的能力。我們雖然反對(duì)“題海戰(zhàn)術(shù)”，但不應(yīng)輕視數(shù)學(xué)解題研究，尤其是對(duì)學(xué)生困惑問題的研究，我們要把解題上升到研題、編題，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，讓學(xué)生知其然，知其所以然。