歐拉法對(duì)方程x'(t)+px(t)+qx(t-τ)=0數(shù)值解的振動(dòng)保持性

劉詩(shī)夢(mèng)，高建芳

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

近幾十年來(lái)有許多文章是關(guān)于延遲微分方程(DDEs)解析解的振動(dòng)性的研究［1-3］.產(chǎn)生這些研究的原因是此類方程在物理學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)及人類某些傳染病蔓延等領(lǐng)域內(nèi)建立的數(shù)學(xué)模型.有關(guān)這些應(yīng)用的詳細(xì)內(nèi)容，可以閱讀文獻(xiàn)［4-7］.

近幾年也有一些關(guān)于自變量分段連續(xù)的延遲微分方程(EPCAs)的數(shù)值解的振動(dòng)性的研究，如文獻(xiàn)［8-13］.這些文章主要是利用θ-方法和龍格-庫(kù)塔方法來(lái)獲得數(shù)值解振動(dòng)的條件.但是目前國(guó)內(nèi)外很少有對(duì)純延遲微分方程的數(shù)值解的振動(dòng)進(jìn)行的研究.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮延遲微分方程

定義1.1［14］如果x(t)有任意多個(gè)零點(diǎn)，則稱x(t)是振動(dòng)的，否則稱x(t)為非振動(dòng).

定義1.2［14］如果延遲微分方程(1)的所有解都振動(dòng)，則稱方程(1)振動(dòng).

定義1.3［14］如果實(shí)序列{xn}既不是最終正的也不是最終負(fù)的，則稱{xn}是振動(dòng)的，否則稱{xn}為非振動(dòng).

定理1.4［14］考慮差分方程

那么以下條件等價(jià):

(1)方程(2)的每個(gè)解振動(dòng);

定理1.5［14］考慮延遲微分方程

那么以下條件等價(jià):

(1)方程(3)的每個(gè)解振動(dòng);

利用文獻(xiàn)［14］中的方法對(duì)延遲微分方程(1)做以下等價(jià)變換，令

則方程(1)化簡(jiǎn)為

因此，方程(1)的解x(t)振動(dòng)等價(jià)于方程(4)的解y(t)振動(dòng).

引理1.6［14］延遲微分方程(1)的所有解振動(dòng)的充要條件是，其中a=qepτ.

引理1.7 對(duì)x＜0，有

證明 構(gòu)造函數(shù)f(x)=(2-x)ex-(2+x)，x＜0，有

f'(x)=-ex+(2-x)ex-1=ex(1-x)-1令f'(x)=0，得到

即f(x)=(2-x)ex-(2+x)＞0，

2 數(shù)值解的振動(dòng)

2.1 顯式歐拉法

這一節(jié)將研究顯式歐拉法即θ=0時(shí)的θ-方法.對(duì)方程(4)應(yīng)用顯式歐拉方法，得到差分格式，其中是正整數(shù).yn，yn-m分別是y(t)和y(t-τ)在tn處的近似值.

定理2.1 考慮差分方程

證明 方程(5)所對(duì)應(yīng)的特征方程為

由定理1.4知，差分方程(5)的每個(gè)解振動(dòng)等價(jià)于其對(duì)應(yīng)的特征方程(6)沒有正根.令

(1)當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)(0+)=-∞，F(xiàn)(+∞)=+∞，所以F(λ)在(0，+∞)上至少存在一個(gè)根λ使F(λ)=0.因此，特征方程(6)有正根，故方程(5)有非振動(dòng)的解.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，λ=1為特征方程(6)的根，故方程(5)也有非振動(dòng)的解.

(3)當(dāng)a＞0時(shí)，顯然F(0+)=+∞.

⒈ 當(dāng)λ≥1時(shí)，F(xiàn)(λ)=λ-1+haλ-m＞0，所以特征方程(6)在［1，+∞)沒有正根.

2.當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，

F(λ)= λ-(1-haλ-m)，應(yīng)用不等式1+x＜ex，得到

即 λ-(1-haλ-m)＞

因此，F(xiàn)(λ)＞0只要考慮

即可.對(duì)以上式子的兩端取對(duì)數(shù)，得

令G(λ)=lnλ+haλ-m，有

令G'(λ)=0，則λm=aτ.當(dāng)λm＜aτ時(shí)，G'(λ)＜0;當(dāng) λm＞aτ時(shí)，G'(λ)＞0.

因此，λ =(aτ)m1

是G(λ)在(0，1)上的極小值點(diǎn)，

要求

1+lnaτ＞0或lnaτ＞-1，

證明完畢.

定義2.2 若延遲微分方程(1)振動(dòng)，則存在h0＞0，當(dāng)h＜h0時(shí)方程(5)振動(dòng)，則稱顯式歐拉法保持延遲微分方程(1)的振動(dòng)性.

定理2.3 顯式歐拉法無(wú)條件保持延遲微分方程(1)的振動(dòng)性.

2.2 隱式歐拉法

這一節(jié)將討論隱式歐拉法即θ=1時(shí)的θ-方法.對(duì)方程(4)應(yīng)用隱式歐拉方法，得到差分格式，其中，正整數(shù)m≥2.yn+1，yn+1-m分別是y(t)和y(t-τ)在tn+1處的近似值.將研究與延遲微分方程(1)解析解振動(dòng)相對(duì)應(yīng)的數(shù)值解振動(dòng)的條件.

定理2.4 考慮差分方程

證明 方程(7)所對(duì)應(yīng)的特征方程為

由定理1.4知，差分方程(7)的每個(gè)解振動(dòng)等價(jià)于其對(duì)應(yīng)的特征方程(8)沒有正根.令，.

(1)當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)(0+)=-∞，F(xiàn)(+∞)=+∞，所以F(λ)在(0，+∞)上至少存在一個(gè)正根λ，使得F(λ)=0.因此，特征方程(8)有正根，故方程(7)有非振動(dòng)的解.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，λ=1為特征方程(8)的根，故方程(7)也有非振動(dòng)的解.

(3)當(dāng)a＞0時(shí)，顯然F(0+)=+∞.

⒈當(dāng)λ≥1時(shí)，F(xiàn)(λ)= λ-1+haλ1-m＞0，所以特征方程(8)在［1，+∞)上沒有正根，故方程(7)有振動(dòng)的解.

⒉ 當(dāng) 0＜λ＜1時(shí)，F(xiàn)(λ)=λ-(1-haλ1-m)，應(yīng)用不等式1+x＜ex，得到

即

即可.對(duì)以上式子的兩端取對(duì)數(shù)，得

令G(λ)=lnλ+haλ1-m，有

令G'(λ)=0，則 λm-1=(τ-h)a.當(dāng) λm-1＜(τ-h)a時(shí)，G'(λ)＜0;當(dāng)λm-1＞(τ-h)a時(shí)，G'(λ)＞0.因此是G(λ)在(0，1)上的極小值點(diǎn)，

由于整數(shù)m≥2，則m-1＞0，要求

1+ln(τ-h)a＞0或 ln(aτ-ah)＞-1，即

則

證明完畢.

定義2.6 若延遲微分方程(1)振動(dòng)，則存在h0＞0，當(dāng)h＜h0時(shí)方程(7)振動(dòng)，則稱隱式歐拉法保持延遲微分方程(1)的振動(dòng)性.

定理2.7 隱式歐拉法保持延遲微分方程(1)的振動(dòng)性的充分條件是

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