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    高階齊次線性遞歸數(shù)列特征方程的由來

    2014-10-13 05:44:44王婷
    考試周刊 2014年69期
    關(guān)鍵詞:特征方程二階高階

    王婷

    一、問題提出

    高階齊次線性遞歸數(shù)列是一種十分重要的數(shù)列,它不僅在高考中占有一席之地,在各類數(shù)學(xué)競賽中也是??停蠖嗍菍⒏唠A齊次線性遞歸數(shù)列與特征方程聯(lián)系起來,利用特征根法求得其通項(xiàng)公式,但是特征方程是如何“從天而降”,遞歸數(shù)列如何與特征方程聯(lián)系起來是許多讀者困惑的問題.教學(xué),不僅要知其然更要知其所以然,才能深刻理解知識(shí)的“來龍去脈”,才能稱得上掌握知識(shí).本文就針對(duì)高階齊次線性遞歸數(shù)列,還原其特征方程的由來過程.

    先來回顧文[1]中二階線性遞歸數(shù)列:x■=p■x■+p■x■①

    采用分配降階得:x■=(α+β)x■-αβx■②

    比較①式與②式,得p■=α+β,p■=-αβ,由韋達(dá)定理可知:α,β是方程x■-p■x-p■=0的根,此方程就稱為二階齊次線性遞歸數(shù)列①的特征方程.

    把這種分配的思想運(yùn)用到三階、四階,甚至階齊次線性遞歸數(shù)列中,即可得到相應(yīng)的特征方程.

    二、預(yù)備知識(shí)

    先介紹一元次方程根與系數(shù)的關(guān)系[2].

    設(shè)n次多項(xiàng)式f(x)=x■+a■x■+…a■x+a■的n個(gè)根為α■,α■,…α■,那么f(x)就可以分解成:f(x)=(x-α■)(x-α■)…(x-α■)

    即:x■+α■x■+…+α■x+α■=(x-α■)(x-α■)…(x-α■)

    將上式右端展開、整理,并比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)得

    α■+α■+…+α■=-α■α■α■+α■α■+…+α■α■=α■α■α■α■+α■α■α■+…+α■α■α■=-α■……α■α■…α■=(-1)■α■

    這就是n次多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系定理,也稱為韋達(dá)定理.

    三、高階齊次線性遞歸數(shù)列特征方程的由來

    要說明特征方程的由來,只需說明根與系數(shù)具有上述關(guān)系,從而構(gòu)造高階齊次線性遞歸數(shù)列的特征方程.

    用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)高階齊次線性遞歸數(shù)列x■=p■x■+p■x■+…+p■x■(r≥3)的特征方程.

    當(dāng)r=3時(shí)x■p■x■+p■x■+p■x■③

    x■-αx■=β(x■-αx■)+γ(x■-αx■)④

    比較③式、④式得

    α+β=p■γ-αβ=p■γα=-p■⑤

    令A(yù)■=x■-αx■,則A■=x■-αx■,那么④式就變形為A■=βA■+γA■.

    由二階齊次線性遞歸數(shù)列可知:

    b■+b■=βb■b■=-γ⑥

    將⑥式代入⑤式得:

    α+b■+b■=p■αb■+αb■+b■b■=-p■αb■b■=p■

    表明α,b■,b■是特征方程x■-p■x■-p■x-p■=0的根.

    現(xiàn)假設(shè)當(dāng)r=m-1時(shí),x■=p■x■+p■x■+…+p■x■的特征方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足:

    b■+b■+…+b■=p■■b■b■=-p■■b■b■b■=p■b■b■…b■=(-1)■p■

    其中b■,b■,…,b■是m-1階特征方程的根.

    那么,當(dāng)r=m時(shí),有x■=p■x■+p■x■+…+p■x■⑦

    利用分配降階的思想,將⑦式變形為:

    x■-c■x■=c■(x■-c■x■)+c■(x■-c■x■)+…+c■(x■-c■x■) ⑧

    令A(yù)■=x■-c■x■,則A■=x■-c■x■,⑧式就變形為A■=c■A■=c■A■+c■A■+…+c■A■.

    由假設(shè)可知,此m-1階特征方程根與系數(shù)的關(guān)系滿足:

    b■+b■+…+b■=c■■b■b■=-c■■b■b■b■=c■b■b■…b■=(-1)■c■⑨

    比較⑦、⑧式得:

    c■+c■=p■c■-c■c■=p■…c■c■=-p■⑩

    將⑨式代入⑩式得:

    c■+b■+b■+…+b■=p■■b■b■+c■■b■=-p■c■b■b■…b■=(-1)■p■

    上式表明c■,b■,…,b■是方程x■=p■x■+p■x■+…+p■x+p■的根,

    亦即x■=p■x■+p■x■+…+p■x■的特征方程.

    四、結(jié)語

    在教學(xué)過程中,教師需要傳授的不僅僅是知識(shí)本身,更重要的是給學(xué)生創(chuàng)造探索其來源的機(jī)會(huì),讓他們?cè)诓粩嗵剿鞯倪^程中感受隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)魅力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]沈恒.再談2008年廣東高考數(shù)學(xué)壓軸題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊(教師版),2009(7).

    [2]王萼芳,石生明.高等代數(shù)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2013.

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