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    算子(矩陣)Ky-Fan不等式猜想的一個反例

    2014-09-17 03:10:14姜健飛
    關(guān)鍵詞:幾何平均東華大學(xué)反例

    宋 佳,姜健飛

    (東華大學(xué) 理學(xué)院,上海 201620)

    算子(矩陣)Ky-Fan不等式猜想的一個反例

    宋 佳,姜健飛

    (東華大學(xué) 理學(xué)院,上海 201620)

    實數(shù)的幾何平均概念也可推廣到Hilbert空間上的自伴算子(矩陣),但其計算過程更復(fù)雜.通過矩陣的幾何平均算法研究算子(矩陣)形式的Ky-Fan不等式,給出一個反例說明關(guān)于Hilbert空間上自伴算子(矩陣)的Ky-Fan不等式結(jié)果的猜想不成立.

    幾何平均;自伴算子;Lowner-Heinz不等式;Ky-Fan不等式

    此即關(guān)于H上自伴算子的Young不等式(這里A≥B?A-B≥0).式(1)的經(jīng)典證明見文獻[1],文獻[2]給出了式(1)的初等證法.

    式(4)即著名的 Ky-Fan不等式[3].注意到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,式(4)指出在同樣條件下有

    并猜測MiMj=MjMi(?i,j)的條件是可去的.文獻[5]證實了這一猜測.

    1 關(guān)于H上自伴算子幾何平均算法的探究

    討論當A和B為兩H上自伴算子(矩陣)時,關(guān)于A與B的幾何平均A#B的算法,是找到式(8)不成立反例的關(guān)鍵.

    1.1 直接法

    以上過程即使A和B為2階矩陣,要得到精確值仍十分困難,但通過以下性質(zhì)可降低計算的難度.

    性質(zhì)1.1 設(shè)A,B∈B(H),若A>0,B≥0,則有

    證畢.

    1.2 最大值法

    性質(zhì)1.2[7]設(shè)A,B∈B(H),若A>0,B≥0,則有

    1.3 關(guān)于2階矩陣的特殊算法

    性質(zhì)1.3[7]設(shè)A和B為兩2階正定陣,若det(A)=det(B)=1,則有

    這里給出一基于性質(zhì)1.1的新證法.

    證明 由A>0,det(A)=1知?P可逆滿足det(P)=1使得PTAP=I.又由PTBP為實對稱陣,且det(PTBP)= [det(P)]2det(B)=1知,? 正

    這樣由性質(zhì)1.1(ii)及Q為正交陣即得

    ST(A#B)S=QTPT(A#B)PQ=

    證畢.

    由性質(zhì)1.3易得推論1.1.

    推論1.1 若A和B為兩2階正定矩陣,則有

    2 關(guān)于H上自伴算子的Ky-Fan不等式的舉例

    通過實例指出關(guān)于數(shù)的Ky-Fan不等式在H上的一種推廣形式的猜想不成立.

    從而由推論1.1得

    由(?。┖停áⅲ┑?/p>

    計算得

    最后由(3)和(4)得:

    得出關(guān)于算子的Ky-Fan不等式的猜想不成立.

    上述最終計算值盡管為負數(shù),但數(shù)量級非常小,因此要論證結(jié)果的準確性:究竟是由于條件自身對A和B的限制使得計算結(jié)果偏小,還是誤差所致?為此,有必要做相應(yīng)的誤差分析,具體討論如下所述.

    其中:0<εi<10-5,(i=1,2,…,6),故有

    其中:θ1=ε1-ε4,θ2=ε2-ε5,θ3=ε3-ε6.顯然|θi|<10-5(i=1,2,3),而

    其中

    驗證了關(guān)于Hilbert空間上自伴算子(矩陣)的Ky-Fan不等式結(jié)果的猜想(式(8))不成立.而關(guān)于Hilbert上自伴算子(矩陣)的Ky-Fan不等式是否還有其他形式呢?此問題仍懸而未決.

    參 考 文 獻

    [1]FURUTA T.Invitation to linear operators:From matrices to bounded linear operators on a Hilbert space[M].London:CRC Press,2001.

    [2]XU Y,JIANG J F.A direct proof to Young inequality by operator mean[C]//Proc of the Ninth International Conference on Matrix Theory and Its Applications.2010:86-88.

    [3]WANG C L.On a Ky-Fan inequality of the complementary,A/G type and its variants[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1980,73(2):501-505.

    [4]WANG C L.On development of a Ky Fan inequality of the complementary AG type[J].J Math Res Exp,1988,8:513-519.

    [5]馮慈璜,正定矩陣的Ky-Fan不等式[J].杭州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)報,1992,19(2):129-131.

    [6]IANNAZZO B.The geometric mean of two matrices from a computational viewpoint[DB/OL].(2011-12-30)[2013-06-15].http://arxiv.org/abs/1201.0101

    [7]ANDO T,LI C K,MATHIAS R.Geometric means[J].Linear Algebra and Its applications,2004,385:305-334.

    A Counter Example of Conjecture about Ky-Fan Inequality of Operator(Matrix)

    SONGJia,JIANGJian-fei
    (College of Science,Donghua University,Shanghai 201620,China)

    The geometric mean concept about the real number can also be extended to the self-adjoint operators(matrices)in the Hilbert space,but the calculation process under such circumstances is more complicated.The Ky-Fan inequality of operator (matrix)is researched based on the algorithm of geometric mean about matrix.A counter example is provided to show that the result of speculation of Ky-Fan inequality of self-adjoint operators(matrices)in the Hilbert space cannot be established.

    geometric mean;self-adjoint operator;Lowner-Heinz inequality;Ky-Fan inequality

    O 177.1

    A

    1671-0444(2014)04-0503-06

    2013-07-01

    宋 佳(1989—),女,安徽六安人,碩士,研究方向為算子不等式.E-mail:806569045@qq.com

    姜健飛(聯(lián)系人),男,副教授,E-mail:jjf@dhu.edu.cn

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