淺談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性上的幾個問題

(天津市建筑工程職工大學(xué)，天津 300074)

數(shù)學(xué)源自人類早期的生產(chǎn)活動，古希臘、古埃及、古印度及古代中國都對數(shù)學(xué)有所研究。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門科學(xué)，具有獨(dú)特的公式結(jié)構(gòu)、嚴(yán)密的符號體系、形象的圖像語言等，對學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)具有無可替代的作用。同時，數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性，嚴(yán)謹(jǐn)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本要求，任何數(shù)學(xué)結(jié)論必須借助于嚴(yán)密的邏輯方法證明來實(shí)現(xiàn)。筆者在教學(xué)過程中在嚴(yán)謹(jǐn)性方面思考了一些問題，在此提出，供大家思索討論之用，以利尋求解決問題的辦法。

1 數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)語言對初學(xué)者而言是感到非常困難的，如何使這些名詞在思維里建立比日常更精確的意思，也困擾著初學(xué)者，如“開放”、“域”等詞在數(shù)學(xué)里有同日常使用更精確的意思。數(shù)學(xué)術(shù)語還包括“微分”及“可積性”等專有名詞，使用這些特別符號和專有術(shù)語是因為數(shù)學(xué)需要比日常生活用語更多的精確性。嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和證明中很重要且基本的一部分，數(shù)學(xué)家們要使他們的定理以系統(tǒng)化的推理被推論下去，這是為了避免依靠不可靠的直觀感覺，從而得出錯誤的或不準(zhǔn)確的“定理”或“證明”，因為這種依靠直觀的情形在歷史上曾出現(xiàn)過的例子確實(shí)很多。在數(shù)學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)程度也因時代而不同，就連牛頓的時代，所使用的方法也較不嚴(yán)謹(jǐn)，牛頓為了解決問題所作的定義，也直到十九世紀(jì)才得以用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评韥碜C明。到現(xiàn)在當(dāng)大量的計算難以被驗證時，數(shù)學(xué)家們則在爭論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度，其證明也是很難確定的。

2 學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性

學(xué)生對數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要有一個逐步適應(yīng)的過程。比如剛升入中學(xué)的學(xué)生，由于他們認(rèn)知上的局限以及小學(xué)階段的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，對一些精確的數(shù)學(xué)語言，如“任意非零整數(shù)”、“唯一”、“存在”、“僅當(dāng)”等，往往缺乏足夠的理解和熟練的運(yùn)用，對一些定義、法則再不能精確背誦和分析，解題時長期模仿范例解題，因此學(xué)生對法則的使用范圍和具體要求必然考慮不夠，在綜合運(yùn)用時經(jīng)?；ハ嗷煜鲥e，更談不上靈活運(yùn)用了。對于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐谱C，學(xué)生更是不適應(yīng)。筆者就曾在大學(xué)階段習(xí)慣于不完全歸納法，從個別實(shí)例中歸納一般結(jié)論，并習(xí)慣于直接套用結(jié)論，而認(rèn)識不到論證的必要性。中學(xué)的學(xué)生甚至大學(xué)生如果教學(xué)過程中沒有進(jìn)行足夠的訓(xùn)練，并使學(xué)生逐步掌握到教材的嚴(yán)謹(jǐn)性，那么到了高中或大學(xué)他們會經(jīng)常用感念的一些常識性、直觀性理解來代替精確定義，也會毫無根據(jù)地把一些數(shù)學(xué)結(jié)論用到不適當(dāng)?shù)膱龊?。例如把函?shù)理解為隨著別的數(shù)改變而變化的數(shù)、把極限理解為近似、把分配率用到loga(α+β)=loga?+logaβ上等錯誤。對于這種現(xiàn)象，我們一方面應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到由于年齡特點(diǎn)，學(xué)生對于嚴(yán)謹(jǐn)性的要求確實(shí)有不適應(yīng)的地方，而另一方面也應(yīng)該看到，這往往是教學(xué)中缺乏基本訓(xùn)練的結(jié)果。

3 教材嚴(yán)謹(jǐn)性的問題

學(xué)生的解法無可非議，這不得不引起筆者的思考。原來“過曲線上點(diǎn)p的切線”與“曲線在點(diǎn)p的切線”一般情況下是不同的。曲線在點(diǎn)p處的切線是指曲線上以該點(diǎn)為切點(diǎn)的直線，它是唯一的；而過曲線上點(diǎn)p的切線，除了包括以點(diǎn)p為切點(diǎn)的切線外，還有可能出現(xiàn)以其它點(diǎn)為切點(diǎn)的切線。教材中的解法正是忽略了“過曲線上點(diǎn)p的切線”與“曲線在點(diǎn)p處的切線”之間的這種區(qū)別，而造成了誤解。

因此，教材的嚴(yán)謹(jǐn)性問題也應(yīng)引起教師們的注意。比如上述問題，如果僅想做簡單化處理，應(yīng)將原題改為“求在點(diǎn)p處的切線”；如果想讓學(xué)生體會“二次”與“三次”曲線的不同，那就應(yīng)改變原題的解法。

4 科研與教學(xué)的問題

現(xiàn)階段普通強(qiáng)調(diào)學(xué)術(shù)科研，相對忽視教學(xué)科研，對教學(xué)科研投入的經(jīng)費(fèi)較少；平常教師的教學(xué)任務(wù)繁重，科研時間相對不足；由于教師考核的標(biāo)準(zhǔn)問題，使得教師在教學(xué)中不愿投入大量精力，科研水平高的教師更不愿參與教學(xué)研究；也有些教師只顧教學(xué)，不搞科研，不努力提高自己。由于不做科研，無法真正教導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力，更不用說創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。要給學(xué)生一瓢水，老師就得有一缸水，不能有一說一或說一有一，若教師在教學(xué)中不敢多說一句話，那時教師該如何教學(xué)？由于現(xiàn)在不管提職、崗位聘任、崗位考核還是社會評價，總把科學(xué)研究視為硬指標(biāo)，視教學(xué)為軟任務(wù)，所以不少教師尤其是年輕教師不愿在教學(xué)上投入過多精力，在教學(xué)上不下真功夫，不苦練基本功，對課程體系、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法不做深入研究，教學(xué)效果自然就達(dá)不到要求。我們的目標(biāo)應(yīng)該是以研促教，以教學(xué)為基礎(chǔ)、科研為先導(dǎo)，在教與研雙方面取得優(yōu)異成績。

5 課程建設(shè)與教師梯隊建設(shè)的問題

數(shù)學(xué)課程的建設(shè)存在兩個較突出的問題。其一，課程建設(shè)的研究不夠深入，有時流于課程名稱的堆砌，課程之間的銜接未經(jīng)認(rèn)真的推敲，銜接不夠緊密，層次不夠強(qiáng)，內(nèi)容有時重復(fù)設(shè)置或脫節(jié)，造成浪費(fèi)學(xué)時或資源利用不充分。經(jīng)常有學(xué)習(xí)一門課的時候遇見還沒學(xué)過的知識或應(yīng)該學(xué)習(xí)的內(nèi)容沒有時間開設(shè)課程，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)上不系統(tǒng)，時而迷惑，效果不佳。其二，教師隊伍的建設(shè)還有待加強(qiáng)?，F(xiàn)階段經(jīng)常出現(xiàn)教師教學(xué)水平不高，未經(jīng)專業(yè)訓(xùn)練而直接上講臺，非本專業(yè)出身教師上課等現(xiàn)象，造成教育資源流失。教師的傳幫帶過程、綜合素質(zhì)、職業(yè)道德、責(zé)任心、教學(xué)交流等方面仍需提高注重程度。

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