一題多解拓展思路

許維發(fā)

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通常學(xué)生解題只會一種方法，而如果讓其換一種方法來解，多數(shù)學(xué)生都無法解出。所以為了拓寬學(xué)生思路，特通過此文舉例來啟發(fā)學(xué)生，使學(xué)生學(xué)會一題多解。

關(guān)鍵詞：方法；思路；幾何

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）11-262-01

在平面直角坐標(biāo)系中直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為sin( )。求直線l被曲線C所截得的弦長。

解：方法1——通法

【思路】分別將所給的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程和直角坐標(biāo)方程，然后聯(lián)立解方程組得兩曲線的交點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)間距離公式即可得到所求弦長。

【過程】將直線l的參數(shù)方程化為普通方程得

…①

將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得

②

由①、②聯(lián)立解方程組，得

和

即直線l與曲線C的兩交點(diǎn)分別為

A 、B

由兩點(diǎn)間的距離公式，得

｜AB｜=

【評注】此法思路簡單，容易想到，但計(jì)算繁瑣。

方法2——幾何法

【思路】由“弦長”可聯(lián)想到平面幾何中的“圓”，進(jìn)而想到“垂徑定理”。 將曲線C的直角坐標(biāo)方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由點(diǎn)到直線的距離公式可求出弦心距，最后由垂徑定理即可求得弦長。

【過程】將直線l的參數(shù)方程化為普通方程得

將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得

即

即曲線C為圓心是 、半徑是 的圓

由點(diǎn)到直線的距離公式，得

弦心距=

由垂徑定理，得

弦長=

【評注】此法關(guān)鍵是聯(lián)想到“垂徑定理”，計(jì)算最簡。

方法3——參數(shù)法

【思路】由直線l的參數(shù)方程可聯(lián)想到參數(shù)的幾何意義，于是可采用參數(shù)的幾何意義來解。先將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再與直線l的參數(shù)方程聯(lián)立消去x和y得到關(guān)于t的一元二次方程，最后據(jù)韋達(dá)定理及公式即可求得弦長。

【過程】將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得

將直線l的參數(shù)方程代入上式，得

即

若直線l與曲線C的交點(diǎn)分別為A、B，且它們對應(yīng)的參數(shù)分別為 、 ，則

由參數(shù)的幾何意義，得

【評注】此法關(guān)鍵是聯(lián)想到參數(shù)的幾何意義，計(jì)算較簡。