淺談定積分與二重積分中的統(tǒng)一解題技巧

肖菊霞

【摘 要】積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的主要分支。定積分與二重積分的概念和計(jì)算是積分學(xué)的重要組成部分，其在在幾何、物理、概率統(tǒng)計(jì)等方面有著重要應(yīng)用。二重積分作為定積分的推廣，其二者有著共同的解題技巧，包括利用幾何意義、對(duì)稱性、換元法來(lái)簡(jiǎn)化定積分與二重積分的計(jì)算。

【關(guān)鍵詞】定積分；二重積分；對(duì)稱性；幾何意義；換元法

0 前言

如何解題對(duì)于學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要性毋庸置疑，定積分與二重積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)， 也是難點(diǎn)。而許多學(xué)生見(jiàn)到稍難一點(diǎn)的題目就無(wú)從下手，不知如何思考，這樣就影響了學(xué)習(xí)的積極性。定積分作為積分學(xué)的基礎(chǔ)，在二重積分的計(jì)算中起著重要作用，掌握起來(lái)也相對(duì)比較容易。本文總結(jié)出了一些定積分二重積分共有的計(jì)算技巧，可以讓學(xué)生在學(xué)好定積分的基礎(chǔ)上掌握二重積分的計(jì)算技巧，通過(guò)類(lèi)比與推廣，達(dá)到巧妙解決一般的定積分與二重積分的計(jì)算問(wèn)題。

1 利用幾何意義計(jì)算積分值

2 利用對(duì)稱性計(jì)算積分值

3 利用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算

3.1 牛頓—萊布尼茲公式給定積分的計(jì)算提供了一種有效的方法，但它完全依賴于求被積函數(shù)的原函數(shù)，但有時(shí)原函數(shù)是很難直接求出來(lái)的，此時(shí)可采用定積分的換元法。

3.2 二重積分計(jì)算的一般方法是將其化為兩次單積分，但當(dāng)積分區(qū)域難于確定定積分限或者被積函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，可以考慮應(yīng)用換元法。

4 建議

定積分的通常計(jì)算方法是得到原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計(jì)算；二重積分的一般計(jì)算步驟是：①畫(huà)出積分域；②選擇坐標(biāo)系，選擇時(shí)要遵循i域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線ii被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離；③確定積分序，需注意i積分域分塊要少ii累次積分好算為妙；④寫(xiě)出積分限，方法有圖示法和不等式法。在計(jì)算的時(shí)候要充分利用它們的幾何意義，對(duì)稱性以及換元法來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。二重積分的計(jì)算是以定積分的計(jì)算為基礎(chǔ)，只有會(huì)熟練的計(jì)算定積分，并把定積分的基本計(jì)算技巧熟練地推廣到二重積分才能更好的掌握二重積分的計(jì)算。通過(guò)以上介紹的幾種方法能大大簡(jiǎn)化定積分和二重積分的計(jì)算。總之，只要方法選得適當(dāng)，都能從容的應(yīng)對(duì)它們的計(jì)算。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重積分的計(jì)算方法[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2010，15：376-377.

[6]吳耀強(qiáng).巧用二重積分求解定積分之例說(shuō)[J].高等函授學(xué)報(bào)，2006（5）：46-48.

[責(zé)任編輯：孫珊珊]

【摘 要】積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的主要分支。定積分與二重積分的概念和計(jì)算是積分學(xué)的重要組成部分，其在在幾何、物理、概率統(tǒng)計(jì)等方面有著重要應(yīng)用。二重積分作為定積分的推廣，其二者有著共同的解題技巧，包括利用幾何意義、對(duì)稱性、換元法來(lái)簡(jiǎn)化定積分與二重積分的計(jì)算。

【關(guān)鍵詞】定積分；二重積分；對(duì)稱性；幾何意義；換元法

0 前言

如何解題對(duì)于學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要性毋庸置疑，定積分與二重積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)， 也是難點(diǎn)。而許多學(xué)生見(jiàn)到稍難一點(diǎn)的題目就無(wú)從下手，不知如何思考，這樣就影響了學(xué)習(xí)的積極性。定積分作為積分學(xué)的基礎(chǔ)，在二重積分的計(jì)算中起著重要作用，掌握起來(lái)也相對(duì)比較容易。本文總結(jié)出了一些定積分二重積分共有的計(jì)算技巧，可以讓學(xué)生在學(xué)好定積分的基礎(chǔ)上掌握二重積分的計(jì)算技巧，通過(guò)類(lèi)比與推廣，達(dá)到巧妙解決一般的定積分與二重積分的計(jì)算問(wèn)題。

1 利用幾何意義計(jì)算積分值

2 利用對(duì)稱性計(jì)算積分值

3 利用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算

3.1 牛頓—萊布尼茲公式給定積分的計(jì)算提供了一種有效的方法，但它完全依賴于求被積函數(shù)的原函數(shù)，但有時(shí)原函數(shù)是很難直接求出來(lái)的，此時(shí)可采用定積分的換元法。

3.2 二重積分計(jì)算的一般方法是將其化為兩次單積分，但當(dāng)積分區(qū)域難于確定定積分限或者被積函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，可以考慮應(yīng)用換元法。

4 建議

定積分的通常計(jì)算方法是得到原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計(jì)算；二重積分的一般計(jì)算步驟是：①畫(huà)出積分域；②選擇坐標(biāo)系，選擇時(shí)要遵循i域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線ii被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離；③確定積分序，需注意i積分域分塊要少ii累次積分好算為妙；④寫(xiě)出積分限，方法有圖示法和不等式法。在計(jì)算的時(shí)候要充分利用它們的幾何意義，對(duì)稱性以及換元法來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。二重積分的計(jì)算是以定積分的計(jì)算為基礎(chǔ)，只有會(huì)熟練的計(jì)算定積分，并把定積分的基本計(jì)算技巧熟練地推廣到二重積分才能更好的掌握二重積分的計(jì)算。通過(guò)以上介紹的幾種方法能大大簡(jiǎn)化定積分和二重積分的計(jì)算?？傊灰椒ㄟx得適當(dāng)，都能從容的應(yīng)對(duì)它們的計(jì)算。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重積分的計(jì)算方法[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2010，15：376-377.

[6]吳耀強(qiáng).巧用二重積分求解定積分之例說(shuō)[J].高等函授學(xué)報(bào)，2006（5）：46-48.

[責(zé)任編輯：孫珊珊]

【摘 要】積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的主要分支。定積分與二重積分的概念和計(jì)算是積分學(xué)的重要組成部分，其在在幾何、物理、概率統(tǒng)計(jì)等方面有著重要應(yīng)用。二重積分作為定積分的推廣，其二者有著共同的解題技巧，包括利用幾何意義、對(duì)稱性、換元法來(lái)簡(jiǎn)化定積分與二重積分的計(jì)算。

【關(guān)鍵詞】定積分；二重積分；對(duì)稱性；幾何意義；換元法

0 前言

如何解題對(duì)于學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要性毋庸置疑，定積分與二重積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)， 也是難點(diǎn)。而許多學(xué)生見(jiàn)到稍難一點(diǎn)的題目就無(wú)從下手，不知如何思考，這樣就影響了學(xué)習(xí)的積極性。定積分作為積分學(xué)的基礎(chǔ)，在二重積分的計(jì)算中起著重要作用，掌握起來(lái)也相對(duì)比較容易。本文總結(jié)出了一些定積分二重積分共有的計(jì)算技巧，可以讓學(xué)生在學(xué)好定積分的基礎(chǔ)上掌握二重積分的計(jì)算技巧，通過(guò)類(lèi)比與推廣，達(dá)到巧妙解決一般的定積分與二重積分的計(jì)算問(wèn)題。

1 利用幾何意義計(jì)算積分值

2 利用對(duì)稱性計(jì)算積分值

3 利用換元法簡(jiǎn)化計(jì)算

3.1 牛頓—萊布尼茲公式給定積分的計(jì)算提供了一種有效的方法，但它完全依賴于求被積函數(shù)的原函數(shù)，但有時(shí)原函數(shù)是很難直接求出來(lái)的，此時(shí)可采用定積分的換元法。

3.2 二重積分計(jì)算的一般方法是將其化為兩次單積分，但當(dāng)積分區(qū)域難于確定定積分限或者被積函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，可以考慮應(yīng)用換元法。

4 建議

定積分的通常計(jì)算方法是得到原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茨公式進(jìn)行計(jì)算；二重積分的一般計(jì)算步驟是：①畫(huà)出積分域；②選擇坐標(biāo)系，選擇時(shí)要遵循i域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線ii被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離；③確定積分序，需注意i積分域分塊要少ii累次積分好算為妙；④寫(xiě)出積分限，方法有圖示法和不等式法。在計(jì)算的時(shí)候要充分利用它們的幾何意義，對(duì)稱性以及換元法來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。二重積分的計(jì)算是以定積分的計(jì)算為基礎(chǔ)，只有會(huì)熟練的計(jì)算定積分，并把定積分的基本計(jì)算技巧熟練地推廣到二重積分才能更好的掌握二重積分的計(jì)算。通過(guò)以上介紹的幾種方法能大大簡(jiǎn)化定積分和二重積分的計(jì)算。總之，只要方法選得適當(dāng)，都能從容的應(yīng)對(duì)它們的計(jì)算。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M]. 北京：高等教育出版社，2007：223-253.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2007：129-156.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001：695-708.

[4]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1983：144-224.

[5]辛春元.二重積分的計(jì)算方法[J].現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2010，15：376-377.

[6]吳耀強(qiáng).巧用二重積分求解定積分之例說(shuō)[J].高等函授學(xué)報(bào)，2006（5）：46-48.

[責(zé)任編輯：孫珊珊]