地震誘發(fā)工程巖體結(jié)構(gòu)面滑移概率分析

鄧學(xué)晶，亓玉成，林 倩，鄒德高

(1.中國石油大學(xué)儲運與建筑工程學(xué)院,山東青島266580；2.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院,遼寧大連116024)

地震誘發(fā)巖體邊坡失穩(wěn)是嚴重的自然災(zāi)害。隨機源和功能函數(shù)是巖體可靠性分析的兩個關(guān)鍵問題。地震動被作為隨機源的方式主要有3種：將地震動的某個特征參數(shù)(如峰值加速度等)看作隨機變量,基于地震危險性分析和擬靜力方法計算可靠度[1-2]；將地震動假設(shè)為平穩(wěn)隨機過程,基于隨機有限元等方法建立工程巖體的動力方程求解可靠度；將地震動作為非平穩(wěn)隨機過程,采用虛擬激勵或攝動法等計算穩(wěn)定可靠度[3-4]。前兩種方法不能反映地震動的客觀隨機性；虛擬激勵或攝動法用于求解高非線性的工程巖體地震可靠度分析,還有許多有待解決的問題。巖體失穩(wěn)的狀態(tài)函數(shù)應(yīng)根據(jù)巖體的變形機制和主要破壞模式并結(jié)合上部結(jié)構(gòu)的功能要求來確定。很多近似方法用以解決計算困難或迭代不收斂問題,如 FORM、SORM、響應(yīng)面法,Monte-Carlo方法等[5-6]。這些方法還可以用來求解動力可靠度問題[7]。筆者基于非平穩(wěn)的隨機地震動模型快速合成地震動,并以巖體結(jié)構(gòu)面的水平等效加速度代表地震荷載水平,考察結(jié)構(gòu)面的滑移狀態(tài),進行滑移概率計算和可靠度分析。

1 工程巖體結(jié)構(gòu)面滑移狀態(tài)方程

在確定性分析中,一般認為地震作用下巖體失穩(wěn)與某些參數(shù)的響應(yīng)值過大有關(guān),例如,滑動體的加速度(慣性力)、滑移面上的合力等,這些參數(shù)被稱為地震效應(yīng),記為S(t),是確定性的時程函數(shù),可由地震動通過對巖體進行數(shù)值計算確定。在可靠度分析中,地震效應(yīng)是隨機過程,其不確定性主要來自于地震等的隨機性。理論上,如果能求得S(t)和其導(dǎo)函數(shù)過程的聯(lián)合概率密度,就可以用理論方法計算S(t)的首次穿越概率,即巖體滑移的概率,但這是相當(dāng)困難的。

大多數(shù)情況只能用近似方法求解,例如,取地震效應(yīng)S(t)的最大值,記為S,代表地震荷載水平,針對一系列地震動,S是隨機變量。如果該一系列地震動符合某場地未來可能發(fā)生的地震的統(tǒng)計特性,隨機變量S的分布就能夠代表該地震誘發(fā)巖體滑移荷載水平的統(tǒng)計屬性。

圖1 工程巖體計算模型Fig.1 Calculation model of engineering rock mass

圖1(a)所示為工程巖體,二維計算模型見圖1(b)。取靠近結(jié)構(gòu)面的一層單元(圖1(b)陰影所示)定義工程巖體結(jié)構(gòu)面的地震效應(yīng)為

式中,為t時刻的單元應(yīng)力分量；ai和bi為第i結(jié)構(gòu)面單元的x和y方向尺寸；g為重力加速度；Ω為結(jié)構(gòu)面的單元集合。

分析可知,式(1)的分子部分是每個結(jié)構(gòu)面單元的水平力的代數(shù)和,分母部分是上部滑體的總質(zhì)量,具有加速度量綱,也可稱作結(jié)構(gòu)面的水平等效加速度,以其代表結(jié)構(gòu)面的地震荷載水平是合理的。

對應(yīng)于每個確定地震動的時程計算可以得到結(jié)構(gòu)面水平等效加速度的時程曲線,取峰值S,是該次地震動引起的結(jié)構(gòu)面最大水平荷載。當(dāng)考慮n次地震動時程計算時,S可看作隨機變量。

工程巖體的極限狀態(tài)函數(shù)表示為

式中,R為結(jié)構(gòu)面的屈服加速度,可由結(jié)構(gòu)面的強度公式換算得到,受結(jié)構(gòu)面強度參數(shù)不確定性的影響,也是隨機變量。

2 結(jié)構(gòu)面滑移概率分析

用核密度估計方法計算R和S的概率密度f(r)和F(s)的表達式,令

式中,N為抽樣計算次數(shù)；h為核密度估計的窗寬；K()為核函數(shù),是某個分布的密度函數(shù),滿足

假設(shè)R和S相互獨立,則狀態(tài)函數(shù)Z的概率密度為

特別是,當(dāng)Z服從正態(tài)分布,其均值為μz,標(biāo)準(zhǔn)差為σz,工程巖體的穩(wěn)定可靠性指標(biāo)

當(dāng)Z不服從正態(tài)分布,也可以進行當(dāng)量正態(tài)化處理,從而得到可靠度指標(biāo)。

完成以上計算需要對地震動進行抽樣,即合成人工地震動用于計算一定數(shù)量的S樣本。

3 隨機地震動抽樣

人工合成地震動的方法主要有兩類：一是基于震源機制和傳播介質(zhì)隨機性的描述進行概率地震危險性分析,給出場地反應(yīng)譜,擬合反應(yīng)譜得到地震動[8]。二是假設(shè)隨機地震動模型,用歷史地震記錄擬合模型參數(shù)的概率分布,直接對模型參數(shù)隨機抽樣生成地震動。前者通過反應(yīng)譜間接反映地震的隨機性,擬合過程需要迭代,而且收斂性不好保證。后者模型參數(shù)的隨機性直接決定地震動隨機性,且模型參數(shù)是震源機理、震級、傳播介質(zhì)和場地屬性等的函數(shù),不需要迭代,生成地震動比較快速[9]。

3.1 隨機地震動模型

白噪聲作用于單自由度線性振子,振子作為濾波器,其穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)是一個隨機過程,通過改變振子參數(shù)以實現(xiàn)頻域非平穩(wěn)性,再乘以幅值調(diào)制函數(shù),可以合成時域和頻域非平穩(wěn)地震動：

式中,w(τ)為白噪聲；σf(t)為積分項的標(biāo)準(zhǔn)差；q(t,a)為調(diào)制函數(shù)。

為實現(xiàn)地震動的時間非平穩(wěn)性,α為參數(shù)向量,控制調(diào)制函數(shù)的形狀；令

α=(α1,α2,α3)決定地震動時域的非平穩(wěn)性。

h[t-τ,λ(t)]為狄拉克函數(shù)δ(t)作用下振子的響應(yīng)；λ(t)說明單自由度振子的彈性系數(shù)和阻尼比等參數(shù)隨時間變化,地震動具有頻率非平穩(wěn)性。δ(t)作用下單自由度線性振子的響應(yīng)為

假定頻率隨時間線性變化,有

式中,ω0,ωn分別為t=0和t=tn時的頻率。

假定阻尼比不隨時間變化,ζf(τ)=ζf,ω0,ωn與ζf決定地震動頻域的不平穩(wěn)性。

由式(7)定義的地震動有6個參數(shù)需要確定,它們是α=(α1,α2,α3) 和ω0,ωnζf。希望這些參數(shù)能夠和有明確物理含義的地震參數(shù)取得聯(lián)系,例如,震級、震中距等,以便利用現(xiàn)有的地震動數(shù)據(jù)庫擬合這些參數(shù)的概率密度分布。

對于任意一個確定的地震記錄,用最小二乘法以累積能量作為優(yōu)化目標(biāo)來確定待定參數(shù)α。至于ω0、ωn與ζf,因其互相影響,須分步考慮。首先假定一系列ζf,對于每個ζf值,通過滿足模擬地震動與目標(biāo)地震動的累積過零數(shù)差別最小來確定ω0、ωn。采用以上模型可以根據(jù)潛在震源震級場地屬性等快速合成一族地震動。更詳細敘述可參見文獻[9]。

3.2 地震動樣本

編制了快速合成人工地震動程序。假定某工程場地潛在的危險地震來自100 km處的7級震源,對該場地基巖地震動進行1萬次抽樣,地震動加速度的峰值、持時、卓越周期不確定,而是滿足某種分布規(guī)律的隨機變量,如圖2(震級M=7,震中距r=100,峰值加速度以加速度g為單位)所示。

圖2 人工合成地震動的主要參數(shù)分布Fig.2 Distributions of main parameters of synthetic ground motions

4 計算實例

選用的工程巖體幾何構(gòu)型如圖3所示,巖體厚36 m,基礎(chǔ)寬184 m?？紤]3個地震的影響,分別是①震級M=7,震中距r=20 km,為近場地震；②M=7,r=100 km,③M=7.8,r=100 km,為遠場地震。對每個潛在地震的基巖地震動進行隨機抽樣n次,進行時程計算得到巖體結(jié)構(gòu)面的水平等效加速度峰值Si(i=1,2,…,n)。

圖4給出工程巖體頂部加速度放大倍數(shù)(即Amax/輸入加速度峰值)的統(tǒng)計情況。分析可見,服從正態(tài)分布。地震參數(shù)分別為M=7,r=20 km；M=7,r=100 km；M=7.8,r=100 km時,其正態(tài)分布參數(shù)分別為μ=1.649 06,σ=0.377 46；μ=2.239 65,σ=0.36642；μ=2.26218,σ=0.41248。近場地震時,巖體頂部加速度放大倍數(shù)的均值μ小于遠場地震,這主要是由于近場輸入加速度峰值較大,巖體非線性響應(yīng)更顯著。同為遠場地震,震級對工程巖體頂部加速度放大倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差有影響,而對均值μ的影響不大。

圖3 工程巖體幾何構(gòu)型Fig.3 Configuration of engineering rocks

圖4 巖體的主要地震響應(yīng)參數(shù)分布Fig.4 Distributions of main response parameters of rocks

圖5給出3個潛在震源地震作用下,巖體結(jié)構(gòu)面最大水平等效加速度分布情況。由圖5可見,其分布規(guī)律與圖2中地震動的峰值分布規(guī)律基本相似,可用Gamma分布函數(shù)擬合,地震參數(shù)分別為M=7,r=20 km；M=7,r=100 km；M=7.8,r=100 km時,Gamma分布參數(shù)分別為：a=3.304 35,b=0.04748；a=4.667 10,b=0.008 376；a=4.826 84,b=0.009889。

圖5 工程巖體結(jié)構(gòu)面水平等效加速度分布Fig.5 Distributions of horizontal equivalent acceleration on structure surface of rock mass

計算巖體結(jié)構(gòu)面的滑移概率和可靠度還須確定式(2)中屈服加速度參數(shù)R的分布規(guī)律,假定R服從正態(tài)分布,均值為0.2g,標(biāo)準(zhǔn)差為0.1。按照式(5)得到工程巖體沿結(jié)構(gòu)面滑移的失效概率和可靠度指標(biāo)。地震參數(shù)分別為M=7,r=20 km；M=7,r=100 km；M=7.8,r=100 km 時,可靠度β=0.640 0,失效概率pf=0.260 9；β=4.943 4,pf=3.839 3×10-7；β=4.248 8,pf=1.074 7×10-5。由此可見：兩個遠場地震作用下,該工程巖體的可靠度都超過4.0,失效概率都小于0.01%；即使發(fā)生遠場地震,該工程巖體的滑移是小概率事件,且震級對巖體失效概率影響不大；近場地震作用下,工程巖體的可靠度指標(biāo)為0.64,失效概率為26.1%,可見,一旦發(fā)生近場地震,工程巖體滑移的可能性很大。

5 結(jié) 論

(1)基于時域和頻域非平穩(wěn)的隨機地震動模型,編程實現(xiàn)對潛源地震的地震動快速隨機抽樣。

(2)在工程巖體結(jié)構(gòu)面上定義了水平等效加速度時程,以最大水平等效加速度代表地震誘發(fā)巖體結(jié)構(gòu)面滑移的荷載水平。兩個遠場地震作用下,某工程巖體的可靠度均超過4.0,失效概率都小于0.01%；近場地震作用下,工程巖體的可靠度指標(biāo)為0.64,失效概率為26.1%。

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