基于MatLab的線性代數(shù)教學(xué)應(yīng)用

邱廣文

摘要：文章針對學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)困難原因的分析，說明在線性代數(shù)中引入Matlab進行教學(xué)改革創(chuàng)新的必要性。通過Matlab程序在初等矩陣教學(xué)中演示和練習(xí)，使學(xué)生能夠直觀形象地理解和掌握線性代數(shù)知識，為后續(xù)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；矩陣；初等矩陣；Matlab；教學(xué)

中圖分類號：TP3 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）16-3851-03

Abstract： Aiming at students' learning linear algebra difficult reason analysis， the introduction of Matlab in linear algebra， the necessity of teaching reform and innovation.Through Matlab in the teaching of the elementary matrix and practice demonstration， visual image to enable students to understand and grasp knowledge of linear algebra， linear algebra for subsequent study to lay a solid foundation.

Key words： Linear algebra.Matrix；Elementary matrix；Matlab；teaching

隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。線性代數(shù)作為討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科，被廣泛應(yīng)用于物理、力學(xué)、信號與信號處理、系統(tǒng)控制、電子通信、航空等學(xué)科領(lǐng)域，因而成為現(xiàn)代各高等院校工、管、理專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，成為用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一個強有力的工具。

1 學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的現(xiàn)狀

線性代數(shù)在其發(fā)展過程中所表現(xiàn)出的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，運用第二代數(shù)學(xué)模型的公理化表述方式的知識體系，使得當(dāng)我們開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，不知不覺就進入了“第二代數(shù)學(xué)模型”的范疇當(dāng)中，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，這給教學(xué)帶來了困難。線性代數(shù)知識體系所表現(xiàn)出的較強的理論性和抽象性，使初學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到困難，同時在課程中又涉及到一些較為繁雜的計算或證明，這些課程特點讓許多學(xué)生很不適應(yīng)，久而久之將導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。因此，如何讓學(xué)生克服畏難心理，盡快適應(yīng)運用第二代數(shù)學(xué)模型的公理化表述方式的線性代數(shù)課程，有必要對傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)方法和手段進行改革創(chuàng)新。為此在教學(xué)過程中引入Matlab軟件，改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)過程中運用Matlab進行實例演示，同時讓學(xué)生通過Matlab進行練習(xí)，通過這樣的教學(xué)幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難，能夠直觀深入理解和掌握知識點。下面以初等矩陣的學(xué)習(xí)介紹Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

2 矩陣中的初等矩陣

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬街匾饔肹1]。在矩陣?yán)碚撝杏幸粋€最基本的性質(zhì)，即以下定理：

設(shè)[A]與[B]為[m×n]矩陣，那么：

1）[A][～r][B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]；使[PA=B]；

2）[A][～c][B]的充分必要條件是存在[n]階可逆矩陣[Q]；使[AQ=B]；

3）[A]～[B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]及[n]階可逆矩陣[Q]；使[PAQ=B]；

為證明此定理，則引入了初等矩陣的概念，即由單位陣[E]經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣[2]。三種初等變換對應(yīng)有三種初等矩陣，這里把它叫做初等矩陣E1，初等矩陣E2和初等矩陣E3。這部分內(nèi)容是矩陣教學(xué)中的一個難點，為讓學(xué)生能直觀地理解和掌握，引入Matlab進行教學(xué)。

2.1初等矩陣E1

把單位陣E中第i，j兩行對調(diào)，得初等矩陣E（i，j），即E1=E（i，j）。用E1左乘矩陣A相當(dāng)于對矩陣A施行一次初等行變換；用E1右乘矩陣A相當(dāng)于對矩陣A施行一次初等列變換。

啟動Matlab程序，在命令窗口中輸入以下命令（這里運算結(jié)果略）。

按照以上方法直至將矩陣A化為行階梯形矩陣。由此可知矩陣A經(jīng)過一此初等矩陣的相乘可化為行階梯開矩陣，進一步運用這樣的方法可將矩陣A化為單位矩陣。因此，通過教學(xué)演示和練習(xí)可讓學(xué)生直觀地充分理解三類初等矩陣的作用，理解和掌握矩陣?yán)碚摰幕拘再|(zhì)，為學(xué)習(xí)求逆矩陣的初等變換方法及后續(xù)知識打下較好基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

在線性代數(shù)中引入Matlab軟件進行教學(xué)，通過教學(xué)過程中的演示和練習(xí)，一方面能夠讓學(xué)生克服畏難情緒，提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，另一方面能夠讓學(xué)生直觀地理解和掌握線性代數(shù)的知識點，進一步提高線性代數(shù)的課堂教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻：

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007：57.

[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007：61.

[3] 肖滿紅.Matlab軟件在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2013（3）：48-51.

[4] 劉燕，閻慧臻.將MATLAB植入工科《線性代數(shù)》課堂[J].中國教育信息化，2013（5）：34-35.endprint

摘要：文章針對學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)困難原因的分析，說明在線性代數(shù)中引入Matlab進行教學(xué)改革創(chuàng)新的必要性。通過Matlab程序在初等矩陣教學(xué)中演示和練習(xí)，使學(xué)生能夠直觀形象地理解和掌握線性代數(shù)知識，為后續(xù)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；矩陣；初等矩陣；Matlab；教學(xué)

中圖分類號：TP3 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）16-3851-03

Abstract： Aiming at students' learning linear algebra difficult reason analysis， the introduction of Matlab in linear algebra， the necessity of teaching reform and innovation.Through Matlab in the teaching of the elementary matrix and practice demonstration， visual image to enable students to understand and grasp knowledge of linear algebra， linear algebra for subsequent study to lay a solid foundation.

Key words： Linear algebra.Matrix；Elementary matrix；Matlab；teaching

隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。線性代數(shù)作為討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科，被廣泛應(yīng)用于物理、力學(xué)、信號與信號處理、系統(tǒng)控制、電子通信、航空等學(xué)科領(lǐng)域，因而成為現(xiàn)代各高等院校工、管、理專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，成為用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一個強有力的工具。

1 學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的現(xiàn)狀

線性代數(shù)在其發(fā)展過程中所表現(xiàn)出的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，運用第二代數(shù)學(xué)模型的公理化表述方式的知識體系，使得當(dāng)我們開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，不知不覺就進入了“第二代數(shù)學(xué)模型”的范疇當(dāng)中，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，這給教學(xué)帶來了困難。線性代數(shù)知識體系所表現(xiàn)出的較強的理論性和抽象性，使初學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到困難，同時在課程中又涉及到一些較為繁雜的計算或證明，這些課程特點讓許多學(xué)生很不適應(yīng)，久而久之將導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。因此，如何讓學(xué)生克服畏難心理，盡快適應(yīng)運用第二代數(shù)學(xué)模型的公理化表述方式的線性代數(shù)課程，有必要對傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)方法和手段進行改革創(chuàng)新。為此在教學(xué)過程中引入Matlab軟件，改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)過程中運用Matlab進行實例演示，同時讓學(xué)生通過Matlab進行練習(xí)，通過這樣的教學(xué)幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難，能夠直觀深入理解和掌握知識點。下面以初等矩陣的學(xué)習(xí)介紹Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

2 矩陣中的初等矩陣

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬街匾饔肹1]。在矩陣?yán)碚撝杏幸粋€最基本的性質(zhì)，即以下定理：

設(shè)[A]與[B]為[m×n]矩陣，那么：

1）[A][～r][B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]；使[PA=B]；

2）[A][～c][B]的充分必要條件是存在[n]階可逆矩陣[Q]；使[AQ=B]；

3）[A]～[B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]及[n]階可逆矩陣[Q]；使[PAQ=B]；

為證明此定理，則引入了初等矩陣的概念，即由單位陣[E]經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣[2]。三種初等變換對應(yīng)有三種初等矩陣，這里把它叫做初等矩陣E1，初等矩陣E2和初等矩陣E3。這部分內(nèi)容是矩陣教學(xué)中的一個難點，為讓學(xué)生能直觀地理解和掌握，引入Matlab進行教學(xué)。

2.1初等矩陣E1

把單位陣E中第i，j兩行對調(diào)，得初等矩陣E（i，j），即E1=E（i，j）。用E1左乘矩陣A相當(dāng)于對矩陣A施行一次初等行變換；用E1右乘矩陣A相當(dāng)于對矩陣A施行一次初等列變換。

啟動Matlab程序，在命令窗口中輸入以下命令（這里運算結(jié)果略）。

按照以上方法直至將矩陣A化為行階梯形矩陣。由此可知矩陣A經(jīng)過一此初等矩陣的相乘可化為行階梯開矩陣，進一步運用這樣的方法可將矩陣A化為單位矩陣。因此，通過教學(xué)演示和練習(xí)可讓學(xué)生直觀地充分理解三類初等矩陣的作用，理解和掌握矩陣?yán)碚摰幕拘再|(zhì)，為學(xué)習(xí)求逆矩陣的初等變換方法及后續(xù)知識打下較好基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

在線性代數(shù)中引入Matlab軟件進行教學(xué)，通過教學(xué)過程中的演示和練習(xí)，一方面能夠讓學(xué)生克服畏難情緒，提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，另一方面能夠讓學(xué)生直觀地理解和掌握線性代數(shù)的知識點，進一步提高線性代數(shù)的課堂教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻：

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007：57.

[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007：61.

[3] 肖滿紅.Matlab軟件在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2013（3）：48-51.

[4] 劉燕，閻慧臻.將MATLAB植入工科《線性代數(shù)》課堂[J].中國教育信息化，2013（5）：34-35.endprint

摘要：文章針對學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)困難原因的分析，說明在線性代數(shù)中引入Matlab進行教學(xué)改革創(chuàng)新的必要性。通過Matlab程序在初等矩陣教學(xué)中演示和練習(xí)，使學(xué)生能夠直觀形象地理解和掌握線性代數(shù)知識，為后續(xù)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；矩陣；初等矩陣；Matlab；教學(xué)

中圖分類號：TP3 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）16-3851-03

Abstract： Aiming at students' learning linear algebra difficult reason analysis， the introduction of Matlab in linear algebra， the necessity of teaching reform and innovation.Through Matlab in the teaching of the elementary matrix and practice demonstration， visual image to enable students to understand and grasp knowledge of linear algebra， linear algebra for subsequent study to lay a solid foundation.

Key words： Linear algebra.Matrix；Elementary matrix；Matlab；teaching

隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。線性代數(shù)作為討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科，被廣泛應(yīng)用于物理、力學(xué)、信號與信號處理、系統(tǒng)控制、電子通信、航空等學(xué)科領(lǐng)域，因而成為現(xiàn)代各高等院校工、管、理專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，成為用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一個強有力的工具。

1 學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的現(xiàn)狀

線性代數(shù)在其發(fā)展過程中所表現(xiàn)出的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，運用第二代數(shù)學(xué)模型的公理化表述方式的知識體系，使得當(dāng)我們開始學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，不知不覺就進入了“第二代數(shù)學(xué)模型”的范疇當(dāng)中，這意味著數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，這給教學(xué)帶來了困難。線性代數(shù)知識體系所表現(xiàn)出的較強的理論性和抽象性，使初學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到困難，同時在課程中又涉及到一些較為繁雜的計算或證明，這些課程特點讓許多學(xué)生很不適應(yīng)，久而久之將導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。因此，如何讓學(xué)生克服畏難心理，盡快適應(yīng)運用第二代數(shù)學(xué)模型的公理化表述方式的線性代數(shù)課程，有必要對傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)方法和手段進行改革創(chuàng)新。為此在教學(xué)過程中引入Matlab軟件，改變傳統(tǒng)的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。在教學(xué)過程中運用Matlab進行實例演示，同時讓學(xué)生通過Matlab進行練習(xí)，通過這樣的教學(xué)幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難，能夠直觀深入理解和掌握知識點。下面以初等矩陣的學(xué)習(xí)介紹Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

2 矩陣中的初等矩陣

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬街匾饔肹1]。在矩陣?yán)碚撝杏幸粋€最基本的性質(zhì)，即以下定理：

設(shè)[A]與[B]為[m×n]矩陣，那么：

1）[A][～r][B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]；使[PA=B]；

2）[A][～c][B]的充分必要條件是存在[n]階可逆矩陣[Q]；使[AQ=B]；

3）[A]～[B]的充分必要條件是存在[m]階可逆矩陣[P]及[n]階可逆矩陣[Q]；使[PAQ=B]；

為證明此定理，則引入了初等矩陣的概念，即由單位陣[E]經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣[2]。三種初等變換對應(yīng)有三種初等矩陣，這里把它叫做初等矩陣E1，初等矩陣E2和初等矩陣E3。這部分內(nèi)容是矩陣教學(xué)中的一個難點，為讓學(xué)生能直觀地理解和掌握，引入Matlab進行教學(xué)。

2.1初等矩陣E1

把單位陣E中第i，j兩行對調(diào)，得初等矩陣E（i，j），即E1=E（i，j）。用E1左乘矩陣A相當(dāng)于對矩陣A施行一次初等行變換；用E1右乘矩陣A相當(dāng)于對矩陣A施行一次初等列變換。

啟動Matlab程序，在命令窗口中輸入以下命令（這里運算結(jié)果略）。

按照以上方法直至將矩陣A化為行階梯形矩陣。由此可知矩陣A經(jīng)過一此初等矩陣的相乘可化為行階梯開矩陣，進一步運用這樣的方法可將矩陣A化為單位矩陣。因此，通過教學(xué)演示和練習(xí)可讓學(xué)生直觀地充分理解三類初等矩陣的作用，理解和掌握矩陣?yán)碚摰幕拘再|(zhì)，為學(xué)習(xí)求逆矩陣的初等變換方法及后續(xù)知識打下較好基礎(chǔ)。

4 結(jié)束語

在線性代數(shù)中引入Matlab軟件進行教學(xué)，通過教學(xué)過程中的演示和練習(xí)，一方面能夠讓學(xué)生克服畏難情緒，提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，另一方面能夠讓學(xué)生直觀地理解和掌握線性代數(shù)的知識點，進一步提高線性代數(shù)的課堂教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻：

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007：57.

[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007：61.

[3] 肖滿紅.Matlab軟件在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2013（3）：48-51.

[4] 劉燕，閻慧臻.將MATLAB植入工科《線性代數(shù)》課堂[J].中國教育信息化，2013（5）：34-35.endprint