民國時期關于數(shù)學“問題解決”教學的研究

王 敏，代 欽

（內(nèi)蒙古師范大學 科技史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

俗曰：窮則變，變則通，通則久．教學法的發(fā)展也遵循著同樣的發(fā)展規(guī)律．自1919年以后，新文化運動的開展，使中等學校的教授法由注入式轉(zhuǎn)向啟發(fā)式．1922年“壬戌學制”的制定與實施，更加強調(diào)了教學法在教學中的地位，隨著設計教學法、道爾頓制、文納卡制相繼傳入中國，大大促進了該時期對教學法的研究．到20世紀二三十年代以后，中國中小學較流行的教學法有討論法、試驗法、演算法、問答法、五段教學法、復式教學法等，其中已有“問題解決”教學法的雛形，民國時期對這一問題的提法和研究很多．以下考察民國時期關于數(shù)學“問題解決”的研究與發(fā)展．

1 數(shù)學“問題解決”教學概述

一般認為，“問題解決”（Problem Solving）是美國教師協(xié)會（NCTM）在第四屆數(shù)學教育大會上提出的口號．這也是20世紀美國數(shù)學教育在經(jīng)歷了“新數(shù)運動”和“回歸基礎”之后，提出的新的思路和觀點．隨后，這一思想在各國的數(shù)學教育中被采納，20世紀80年代末到90年代初“問題解決”傳入中國，并生根發(fā)芽，經(jīng)過眾多學者的研究，現(xiàn)已成為中國數(shù)學教育研究的核心內(nèi)容，同時也是學校數(shù)學教育的中心．實際上，涉及數(shù)學“問題解決”教學法的研究卻在80年前就已經(jīng)出現(xiàn)．

數(shù)學問題解決教學就是從問題出發(fā)，以數(shù)學思想方法為線索，以數(shù)學問題解決為目的，使數(shù)學教學成為數(shù)學活動的教學、數(shù)學思維的教學、再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的教學．

關于數(shù)學“問題解決”教學的研究涉及到了數(shù)學教育的根本目標、基本的數(shù)學觀、數(shù)學教學、學習以及數(shù)學活動的性質(zhì)等[1]．研究將“問題解決”當作一種教學方式即通過數(shù)學問題引入教學內(nèi)容并通過數(shù)學問題解決達到學習新知識，復習、鞏固已學知識的目的．

2 民國時期關于數(shù)學“問題解決”教學的研究

民國時期沒有直接提到以“問題解決”教學法命名的教學法定義，然而從民國時期中國翻譯研究國外的數(shù)學教學法方面的書籍和文章來看，關于數(shù)學“問題解決”教學的提法和研究在民國時期就已經(jīng)出現(xiàn)，而且在其它教學法的研究中，也有涉及到類似的研究，如“設計教學法”、“問題教授法”、“教室中解決數(shù)學問題”等，這些研究均提到了數(shù)學“問題解決”教學的步驟及其注意事項．以下借助一些主要論著、期刊中的文章考察民國時期涉及數(shù)學“問題解決”教學的研究．

2.1 從“問題教授法”到“問題教學法”

最早關于“問題解決”教學的研究可以追溯到1919年刊登在《教育雜志》中的一文《問題教授法》[2]．該文以心理學、教育學為基礎，從論理學（邏輯學）的角度分析了問題教授法的 4個步驟：（1）問題之敘述或問題之提出；（2）問題之分析或問題之定義；（3）問題之解答或問題之擬定；（4）問題之證明或問題之檢證．

然后強調(diào)在數(shù)學教學課堂實施的過程中應注重與學生的心理相符，包括所選內(nèi)容和所選的教學過程，并將學生的心理分為3級：首先理解新知識為何物；其次融合新知識，與已有知識進行調(diào)整；最后將所得知識進行應用從而掌握新知識．教師的工作可以分為兩級：一是課前考察學生已有的數(shù)學知識，展示與新知識相關的內(nèi)容；二是盡量將所要理解的新知識展現(xiàn)給學生[2]．同時譯者在對文章的翻譯中強調(diào)這是國外的研究結果，不能“專顧現(xiàn)今經(jīng)驗不顧種族經(jīng)驗”．

最后對“問題教授法”做如下評價：問題教授法最大之長處即在其法無一成不變之形式……為教員者不特當其所授教材而已尤必聲明學生之性質(zhì)，尋得此二者間之真正接觸點而后可，夫問題教授法在將教育重心自教材而轉(zhuǎn)至兒童此于上文已述之矣……故教員之于學生亦必尋其精神體魄及靈魂之發(fā)育之途徑而誘掖輔導之是非，富于同情敏于感覺長于材技有斷難勝任愉快者矣神而明之存乎其人，此良好之教授法所以有待于良好之教員也．可見，該時期的問題教授法強調(diào)在教學過程中不僅注重教材的選擇而且關注學生的實際情況，同時在教學法的使用中關注新舊知識的聯(lián)系，注重知識的重組和實際應用．

又如，太玄著《算術上應用問題之初步教授》[3]中針對算術教授中應用問題成績差的狀況，提出教師在算術教學中，先以事實問題為教授的出發(fā)點，教授之前應先引導學生考察問題的事實，然后再計算．算術問題的取材也要以學生日常生活及學習的經(jīng)驗為主．再使學生理解問題的目的與意義，明白問題與計算式之間的關系．最后培養(yǎng)問題解法的基礎：（1）題意與事實及圖解或舉例；（2）立式之指導；（3）表明事實關系之問題用語與算法之關系；（4）說明法．

1920年以后，隨著“教授法”向“教學法”的轉(zhuǎn)變[4]，教育觀念也隨之發(fā)生了變化，從傳統(tǒng)的注重教師的教轉(zhuǎn)向關注學生的學．這種觀念在問題解決的教學中體現(xiàn)得尤為明顯．如：H. R. Douglass著，蔣勵材譯《問題教學法》一文分析問題教學法中問題的設定、實施的辦法及其程序．從歸納和演繹兩方面總結學生解決問題的程序，如表1所示．

表1 關于解決問題比較重要的程序[5]

2.2 杜佐周從數(shù)學的心理角度分析數(shù)學“問題解決”

1926年，杜佐周連載于《教育雜志》第18卷第4號的《數(shù)學的心理》，其中論述了數(shù)學心理的范圍包括算術、代數(shù)和幾何．在“算術的心理”一節(jié)中就涉及了問題解決步驟的分析．將算術“問題解決”的步驟分以下3步：

第一，完全讀懂問題的題意，即分析題目的內(nèi)容．

第二，懂得計算這個問題的各種方法的意義．學生對于已經(jīng)歸類的問題，經(jīng)過相當?shù)木毩暫芸炷軌蛴嬎?，但是一旦改變題意，就不能正確地計算，原因在于對計算方法的真實意義不是很明了．

第三，能利用實體的想象、明了其空間或數(shù)量的關系．能否想象一個問題的具體背景與理解這個問題的程度，有很密切的關系．

所以教師應注意在教學時培養(yǎng)學生自己推理的能力，通過觀察學生能否利用實體的想象，明了空間或數(shù)量的關系來判斷學生的推理能力和掌握能力．

綜上，從各種涉及數(shù)學“問題解決”教學的研究表明：民國時期關于“問題解決”教學法的主要步驟為：首先，弄清題意；其次，結合已有知識和方法分析問題；再次，確定解決問題的辦法；最后，證明結論．這與1948年波利亞在《怎樣解題》中提出的解題步驟其本質(zhì)是一致的．

2.3 從科學方法論角度研究數(shù)學“問題解決”

隨著科學知識和科學方法研究的不斷深入，科學方法及數(shù)理研究方法相繼傳入中國．出現(xiàn)了從科學方法角度分析數(shù)學問題解決的研究．1935年，由徐韋曼翻譯的 F. W.Westaway的《科學方法論》第六冊中“教室中解決數(shù)學問題”一節(jié)（圖 1），從科學方法的角度分析了教室中如何進行數(shù)學“問題解決”教學．

文中以懷疑數(shù)學研究與數(shù)學知識的用處開篇，總結為兩點：第一，數(shù)學不能實際估量各種矛盾之蓋然性，對應付日常變化之事件不能有所幫助；第二，普通解決數(shù)學問題所用的方法為綜合法，然后逐步循例進行，似甚簡單，而每步均直接論理的也是隨著前一步進行，故其程序似乎完全沒有應用智力也[6]．這其中蘊含了科學方法中的綜合法和演繹法，而數(shù)學研究不僅僅包含這兩種方法，如數(shù)學家大多數(shù)的研究工作還是以采用分析和歸納的方法較多．這些觀點與該時期翻譯出版的《算學叢書·數(shù)理方法論》中關于科學研究的方法有相似之處，該書針對“研究上之技術”中強調(diào)開始研究一個問題時，大都先由歸納得到一種推斷，然后再求證于演繹．同時，歸納與演繹的最大區(qū)別在于：演繹可獲得確實的一般性，而歸納則僅能將個別事例用推想的方式推廣，而且其中必須要先得到一個結論[7]．

圖1 《科學方法論》

在數(shù)學教學中，教師要求學生解決一個數(shù)學問題，若全班均不能解決，而由教師直接講解，則為教學中的大錯．在數(shù)學問題解決中，學生需要的是一種暗示，用來啟發(fā)與問題相關的方法，然后自行解決問題．所以“教授數(shù)學之藝術，根本只可是應用啟發(fā)之方法，所予之暗示，只須足以提醒其作法之大概，使其自動設計以攻問題之中心困難，而不可告之過多也．”[6]

從科學方法的角度看，數(shù)學“問題解決”的核心方法為分析法，具體操作主要是暗示，這與后來波利亞提出的啟發(fā)法有異曲同工之妙．在實施暗示法的時候要注意以下幾點：

第一，解決數(shù)學問題時，要了解學生以前相關知識掌握的多寡．

第二，引導學生用系統(tǒng)的方法記載其材料，并掌握公式在不同條件下應用的能力．注重引導學生將普通原則用于特殊問題之中．

第三，教師要觀察學生是否對所學原則均已諳習，否則不能應用其原則．

總之，應用于數(shù)學問題解決的科學方法應以分析法為主，包含歸納法和發(fā)現(xiàn)法．在數(shù)學問題解決中，學生首先要明白問題的內(nèi)容以及所須經(jīng)過的步驟，對其采用的方法是在教師的引導下發(fā)現(xiàn)的，而且教師只限于暗示，即詢問一兩個問題，不能直接講授解題方法．同時對于有能力的學生，要教其主動運用分析法．

2.4 波利亞對數(shù)學“問題解決”的研究

論及數(shù)學“問題解決”的研究，首先最應該提及的是著名數(shù)學家波利亞（G. Polya）的研究，他的研究可以看作是現(xiàn)代“問題解決”教學法研究的先驅(qū)，而且是直接的理論基礎．波利亞的數(shù)學觀認為：數(shù)學是一門演繹的科學，又是一門實驗性的歸納科學，并以此為契機，提出著名的數(shù)學與學習的心理三原則．他的解題表在數(shù)學問題解決教學中發(fā)揮了重要作用．

波利亞《怎樣解題》的第一版在1948年被中國中華書局翻譯出版[8]，該書包括3部分，即數(shù)學解題教學；解題問答——對話；促發(fā)術各論[9]．在開頭就展示了“怎樣解題表”，它展現(xiàn)了課堂中數(shù)學問題解決的過程，通過一些具體例題的展示闡釋了“怎樣解題表”的程序，即了解問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和回顧的過程．隨后，波利亞出版了《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》等一系列關于解題研究的著作，正是對數(shù)學解題的研究推動了波利亞對數(shù)學“問題解決”教學模式的形成．

波利亞對數(shù)學“問題解決”教學的研究主要表現(xiàn)在以下兩方面：

第一，重視數(shù)學“問題解決”的研究．首先，他提出了數(shù)學“問題解決”教學的教學模式，即“怎樣解題表”．其次，他認為：解決一個問題是智力的特殊成就，而智力乃是人類的天賦，因此解題可以認為是人的最富有特征性的活動[10]．數(shù)學在發(fā)展學生的智力方面恰恰是“具有最大的可能性”，所以數(shù)學教師在數(shù)學教學中要盡一切可能發(fā)展學生解決數(shù)學問題的能力．

第二，強調(diào)數(shù)學“問題解決”要注重“啟發(fā)法”．波利亞在“問題解決”方面的工作主要集中于“啟發(fā)法”，他的“怎樣解題表”中的問題和建議就是“啟發(fā)法”的核心．

3 借古視今

1922年以后，中國的數(shù)學教育從單純學習日本轉(zhuǎn)向?qū)W習美國，大量譯介美國數(shù)學教科書和教學法著作．“問題解決”教學法的思想逐漸在各種教學法研究中被滲透，雖然沒有查到在全國實施的情況，但從該時期課程標準“教法要點”中可以看出其中的變化，如《初級中學算學課程標準》（1936年）中就“教法要點”中關于“練習題之選擇”，應注意（甲）多選實際問題，少選抽象問題；（乙）多選常態(tài)生活問題，少選假設疑難問題．《六年制中學數(shù)學課程標準》（1941年）中，強調(diào)“幾何證題宜盡量使用啟發(fā)法、逆證法，以明思考之途徑，并應就定理間關系，組織系統(tǒng)……庶學生得提綱挈領，運用自如……”[11]其中在數(shù)學教育、教學中的變化主要體現(xiàn)在以下幾方面：

第一，該時期隨著教授法向教學法的轉(zhuǎn)化，教學過程注重以教師的教為中心轉(zhuǎn)換為以學生的學為中心．

在課程設置方面，開始考慮到學生的需要、已有知識結構和學生的主觀興趣等．

教學過程方面，更加注重教授的藝術，由以往的直接講授改為暗示、啟發(fā)與問題相關的方法，讓學生自行解決問題．

第四，更加強調(diào)培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力．

總之，民國時期“問題解決”教學法在與各種教學法的結合應用與研究中，從教學步驟及建議等方面進行研究，對改善當時的教學法要求起到了重要的作用，更是對數(shù)學教育的發(fā)展有著特殊的意義．

目前，“問題解決”作為數(shù)學教學的新方向，已經(jīng)被國內(nèi)外的專家學者所認可，許多數(shù)學教育家、心理學家對其進行了大量系統(tǒng)的研究，主要涉及“問題解決”概念的界定、本質(zhì)的分析、要素的整理、過程的解釋等，并對其教學模式及心理機制、思維策略等的研究基礎上提出了相應的教學策略．縱觀民國至今關于“問題解決”教學的研究，現(xiàn)今的研究是在以往的基礎上發(fā)展起來的，如波利亞對“問題解決”教學的研究對當今的數(shù)學教育改革仍具有借鑒作用，但現(xiàn)今的研究較民國時期關于“問題解決”教學的研究具有涉及范圍廣、實踐性強等特點．

[1]鄭毓信．問題解決與數(shù)學教育[M]．南京：江蘇教育出版社，1994．

[2]施高德．問題教授法[J]．錢智修譯．教育雜志，1919，（10）：10．

[3]太玄．算術上應用問題之初步教授[J]．教育雜志，1916，（6）：109．

[4]代欽．我國近現(xiàn)代數(shù)學教學法發(fā)展研究[J]．內(nèi)蒙古師大學報，2000，（2）：158．

[5]Douglass H R．問題教學法[J]．蔣勵材譯．安徽教育，1930，（19）：62．

[6]Westaway F W．科學方法論[M]．徐韋曼譯．上海：商務印書館，1935．

[7]Holder．算學叢書·數(shù)理方法論[M]．上海：商務印書館，1937．

[8]代欽，韓斌．紀念波利亞《怎樣解題》中文版60周年[J]．內(nèi)蒙古師范大學學報，2009，（5）：599．

[9]Polya．怎樣解題[M]．周佐嚴譯．上海：中華書局，1948．

[10]喬治·波利亞．數(shù)學的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授[M]．劉景麟譯．北京：科學出版社，2001．

[11]課程教材研究所．20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編（數(shù)學卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001．