淺談猜想、驗證在數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理運用

唐曉宇

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生理解基礎(chǔ)知識，形成基本技能，更要讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識的同時掌握一定的數(shù)學(xué)思想方法、形成科學(xué)探究數(shù)學(xué)的態(tài)度，這是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的價值取向。其中，數(shù)學(xué)猜想作為一種創(chuàng)造性的思維活動，受到小學(xué)數(shù)學(xué)老師的追崇，很多老師都喜歡把“猜想—驗證”作為知識的探究過程。但并非所有數(shù)學(xué)課上的猜想都能稱作數(shù)學(xué)猜想，也并非所有的猜想都值得去驗證，所以“猜想—驗證”在數(shù)學(xué)教學(xué)中絕不能濫用。下面筆者就以曾聽的蘇教版四年級上冊《找規(guī)律》一課為例，談?wù)勛约旱囊恍┐譁\想法。

我們先來看這節(jié)課的幾個教學(xué)環(huán)節(jié)。

1.觀察彩帶，感知一一間隔

教師出示紅藍相間的一條長彩帶（結(jié)尾看不見），引導(dǎo)學(xué)生觀察，借助“彩帶總是一個紅格隔著一個藍格排列” 的感知，認識“一一間隔”排列。

2.引發(fā)猜想

（1）學(xué)生猜一猜彩帶的紅格和藍格在數(shù)量上有什么關(guān)系。（板書：猜想）

（2）學(xué)生提出“紅格和藍格的數(shù)量相等”“紅格比藍格多1個”“藍格比紅格多1個”“紅格比藍格多2個”的四種猜想，教師一一板書。

（3）教師指出這些只是同學(xué)們憑著自己的經(jīng)驗或感覺作出的猜想，可能是對的，也可能是錯的，需要進行驗證。（板書：驗證）

3.驗證

（1）教師提供研究素材：彩帶的一小段、兩端是夾子的夾子手帕圖、兩端是木樁的木樁網(wǎng)塊圖、兩端分別是小兔和蘑菇的小兔蘑菇圖、兩端分別是盆花和仙人掌的盆花仙人掌圖，學(xué)生選擇其中一種進行研究：看一看兩種物體的排列、數(shù)一數(shù)每種物體的數(shù)量、想一想它們的數(shù)量關(guān)系。

（2）集體交流，黑板上貼出相應(yīng)的研究圖片。

（3）引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：“兩種物體一一間隔排列，當(dāng)兩端物體相同時，這兩種物體數(shù)量就相差1個；兩端物體不同時，它們的數(shù)量相等?！蓖瑫r指出，剛才“紅格比藍格多2個”的猜想是不正確的，其余都是成立的。

4.操作明理

（1）讓學(xué)生分別按要求用小棒和圓片擺一擺。（要求1：小棒和圓片一一間隔排成一行，且數(shù)量相差1個。要求2：小棒和圓片一一間隔排成一行，且數(shù)量相等。）

（2）結(jié)合小棒和圓片的操作，引導(dǎo)學(xué)生理解“兩種物體一一間隔排列，也就是兩種物體一一對應(yīng)著排列。當(dāng)兩端物體相同，兩種物體一一對應(yīng)，最后多出一個；當(dāng)兩端物體不同，兩種物體一一對應(yīng)，正好對完，所以數(shù)量相等”。

5.回顧反思

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律并回顧整理找規(guī)律的過程：“……首先我們大膽地提出了猜想，然后通過具體例子進行驗證、總結(jié)規(guī)律。很多數(shù)學(xué)規(guī)律都可以這樣去研究?！?/p>

……

上述教學(xué)沿著“猜想—驗證”的思路展開找規(guī)律的過程，表面上看似乎很流暢，但細細品味，筆者認為這樣的“猜想—驗證”是存在問題的：

首先，要正確認識什么是數(shù)學(xué)猜想。猜想是在對研究的對象、問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等基礎(chǔ)上，依據(jù)已有的材料及知識作出符合一定經(jīng)驗與事實的合情推理。雖然有時它可以在靈感或直覺中閃現(xiàn)出來，但如果沒有數(shù)學(xué)事實作根據(jù)，隨心所欲地胡猜，得到的命題就不能稱為數(shù)學(xué)猜想。上述課堂，在研究“一一間隔”排列的兩種物體的數(shù)量關(guān)系前，讓學(xué)生先猜一猜，能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)的主動性，為學(xué)生的自主探究提供條件。然而，僅由一條彩帶引發(fā)關(guān)于紅格和藍格數(shù)量關(guān)系的猜測，學(xué)生缺乏知識經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思考的支撐，就會盲目瞎猜，把所有的可能都猜出來，把這些猜測結(jié)果都作為數(shù)學(xué)猜想，并對其進行驗證，也是不嚴謹、不妥當(dāng)?shù)摹＿@里的猜想只是對某一具體問題結(jié)果的猜測，如果把它作為具有普遍性的規(guī)律，邏輯上是存在問題的。

其次，要從學(xué)的角度理清找規(guī)律過程，從中發(fā)現(xiàn)物體排列規(guī)律到物體數(shù)量關(guān)系之間的邏輯關(guān)系。本課是首次引導(dǎo)學(xué)生探索日常生活現(xiàn)象中隱含的“一一間隔”排列規(guī)律，教材先通過呈現(xiàn)生動的情境，讓學(xué)生觀察若干個具體現(xiàn)象，體會它們的相同特點，初步感受間隔規(guī)律。同時借助9塊手帕10個夾子、7個蘑菇8只兔子、12個籬笆13根木樁這三組數(shù)據(jù)，初步發(fā)現(xiàn)一一間隔排列的兩種物體間的數(shù)量相差1的規(guī)律。然后通過擺小棒和圓片的操作活動，引導(dǎo)學(xué)生在對小棒和圓片個數(shù)之間關(guān)系的討論中進一步感知規(guī)律，并將這一規(guī)律與前面例題中的相關(guān)問題建立聯(lián)系，感受有關(guān)規(guī)律的普遍意義，即建立數(shù)學(xué)模型。因此，教學(xué)時應(yīng)當(dāng)本著從具體到抽象、從感性到理性、從特殊到一般的認知規(guī)律，讓學(xué)生沿著從生活中的問題到數(shù)學(xué)問題、從了解特殊關(guān)系到發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的軌跡充分地經(jīng)歷觀察、比較、歸納、操作等探索活動，逐步發(fā)現(xiàn)“一一間隔”排列的兩種物體之間的數(shù)量關(guān)系，而不是生搬硬套，凡遇猜測都去驗證。否則，就是將“猜想—驗證”泛化和庸俗化，是對教材和教學(xué)方法的一種誤解，更是對學(xué)生的一種誤導(dǎo)。

為避免上述問題的存在，筆者認為本課的教學(xué)可作如下改進：

1.觀察歸納，認識一一間隔

由彩帶認識“一一間隔”后，再通過改編的教材情景圖以及教室內(nèi)的現(xiàn)象例舉，豐富學(xué)生對“一一間隔”排列的認識。

2.猜一猜，引發(fā)探究

學(xué)生猜測彩帶上紅格和藍格個數(shù)之間的關(guān)系。（學(xué)生提出了3個猜測：紅格多1個，藍格多1個，數(shù)量相等。）

3.合作交流，探究發(fā)現(xiàn)

（1）教師引導(dǎo)學(xué)生選擇同樣的短彩帶進行研究，通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)“兩端顏色相同，紅格和藍格的數(shù)量就相差1個；兩端顏色不同，紅格和藍格數(shù)量就相等”。

（2）引導(dǎo)學(xué)生研究情景圖上的例子，通過觀察、比較，進一步發(fā)現(xiàn)“兩種物體一一間隔排列，當(dāng)兩端物體相同時，這兩種物體數(shù)量就相差1個；兩端物體不同時，它們的數(shù)量相等”。

（3）歸納明理

用小棒和圓片分別代表兩種物體按要求擺一擺，然后加強聯(lián)系，歸納規(guī)律。最后，結(jié)合操作，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析，理解規(guī)律的本質(zhì)。發(fā)現(xiàn)規(guī)律后引導(dǎo)學(xué)生簡單回顧研究過程及方法，并用規(guī)律解答彩帶問題，照應(yīng)先前猜測。

……

改進后的教學(xué)仍然有學(xué)生的猜一猜，但因為有豐富的感性材料作基礎(chǔ)，所以這里的猜是有思考的。猜一猜后以三個層次展開探究：選取小段彩帶研究，初步感知規(guī)律；研究情景圖上的例子，進一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律；按要求擺小棒和圓片總結(jié)歸納、理性分析和認識規(guī)律。整個過程沒有貼上猜想—驗證的標簽，而是按照“猜猜結(jié)果、展開研究”的順序逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對于本課而言，這樣的找規(guī)律才是真實而合乎邏輯的。endprint