一類三種群時(shí)滯捕食－食餌系統(tǒng)的持久性①

王 銳， 王 奇， 張友梅

(1.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥 230601;2.合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽巢湖 238000)

近年來(lái)，很多研究者對(duì)具有功能反應(yīng)函數(shù)的捕食－食餌系統(tǒng)開(kāi)展研究，得到豐碩的成果.其中，功能反應(yīng)函數(shù)既有只依賴于食餌的Holling型功能反應(yīng)函數(shù)，也有像同時(shí)依賴食餌與捕食者的比率依賴型功能反應(yīng)函數(shù)[1～6].Beddington[7]和 DeAngelis[8]曾經(jīng)研究過(guò)一種具有 Beddington－ DeAngelis型功能反應(yīng)的捕食－食餌系統(tǒng):

受以上論文的啟發(fā)，本文研究一類具Beddington－DeAngelis型功能反應(yīng)的三種群時(shí)滯捕食－食餌系統(tǒng):

其中，x1(t)，x2(t)，x3(t)分別表示食餌及兩類競(jìng)爭(zhēng)捕食者的種群密度，其分 τ1，τ3，τ5≥0 別表示對(duì)于食餌對(duì)捕食者產(chǎn)生的負(fù)反饋?zhàn)饔?，?，τ4表示捕食者由于出生而產(chǎn)生的時(shí)滯，τ={τj(t)}，j=1，2，3，4，5，aj(t)表示種群 xi(t)的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，b1(t)表示食餌種群內(nèi)部的競(jìng)爭(zhēng)率，b2(t)，b3(t)分別表示捕食者x1(t)，x2(t)相互間競(jìng)爭(zhēng)率，并且函數(shù) ai，bi，ci，di，αi，βi，γi，i=1，2，3 都是定義在R+上的嚴(yán)格正的連續(xù)有界ω－周期函數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

定義2.1[9]稱系統(tǒng)(2)是持久的，如果存在正常數(shù)mi，Mi(0＜mi＜Mi)，以及有限時(shí)間T，對(duì)所有的t≥T，均有以下結(jié)論成立:mi≤xi(t)≤Mi，i=1，2，3.

引理 2.2[10]如果:

這里α是正常數(shù)，則:

下面給出文中用到的一些記號(hào):

對(duì)連續(xù)有界ω－周期函數(shù)f(t)，記

fu=max{f(t):t∈[0，ω]}

2 系統(tǒng)的持久性

定理3.1 如果系統(tǒng)(2)滿足以下條件:

那么系統(tǒng)(2)是持久的，即，存在T＞0，當(dāng)t＞T時(shí)，系統(tǒng)(2)的任意解都滿足:mi≤xi(t)≤Mi，i=1，2，3，其中，

證明: 由系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程有:

將(4)從t－τ1到t上進(jìn)行積分，得到:

將(6)代入至系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程有:

由引理2.2知:?T1＞ 0，當(dāng)t＞ T1時(shí)，有:

同時(shí)將系統(tǒng)(2)的第二個(gè)，第三個(gè)方程進(jìn)行放大，得到:

設(shè)x2(t)是x2(t)的最大值，代入(11)有:

由于x2(t)≥0，解得:

設(shè)x3()是x3(t)的最大值，代入(12)有

由于x3(t)≥0，解得:

聯(lián)合(16)與(17)得到:

聯(lián)合(14)與(19)得到:

由(9)，(10)，(18)，(20)知，存在 T4＞max{T2，T3}，有:

設(shè)x1()為x1(t)的最小值，因此有:

由于x1()≥0，解得:

由(23)，(24)可以聯(lián)合解得:

那么，存在T4＞0，當(dāng)t＞T4時(shí)，有

將系統(tǒng)(2)的第二，第三個(gè)方程進(jìn)行縮小，可

以分別得到以下兩個(gè)不等式:設(shè)x2()，x3()分別是x2(t)，x3(t)的最小值，

代入至(27)，(28)分別得到:

仿照前面的解法，解得:

把(31)，(32)分別代入(33)，(34)中，分別解得以下兩個(gè)不等式:

所以，有 T ＞ max{T1，T2，T3，T4，T5，T6}＞ 0，使得:mi≤ xi(t)≤ Mi，i=1，2，3，至此，系統(tǒng)(2)的持久性得證.

[1]R.Arditi，H.R.Akcakaya.Underestim－ ation of mutual interference of Pred－ ators[J].Oecologia，1990，83:358－361.

[2]R.Arditi，N.Perrin，H.Saiah.Functi－ onal Response and Heterogeneities:An Experimental Test with Cladocerans[J].O－ ikos，1991，60:69－75.

[3]C.Jost，R.Arditi.From Patternt Process:Identifying Predator－Prey Interactions[J].Popul.Ecol，2001，43:229－243.

[4]C.Jost，S.Ellner.Testing for Pred－ Ator Dependence in Predator－ Prey Dyn－ Amics:A Nonparametric Approach[J].Proc.R.Soc.Lond.Ser，2000，B267:1611－1620.

[5]G.T.Skalski，J.F.Gilliam.Functional Response with Predator Interference:Viable Alternatives to the HollingtypeⅡModel[J].Ecology，2001，82:3083－3092.

[6]P.M.Dolman.The Intensity of Inte－ Rference Varies with Resource Density:Evidence from a Field Study with Snow Buntings[J].Plectroph.Niv.Oecologia，1995，102:511－514.

[7]J.R.Beddington.Mutual Interferen－ Ce between Parasites or Predators andits Effect on Searching Efficiency[J].Anim.Ecol，1975，44:331－340.

[8]D.L.DeAngelis，R.A.Goldstein，R.V.O’Neill.A Model for Trophic Interac－ tion[J]，Ecology，1975，56:881－892.

[9]宋新宇，郭紅建，師向云.脈沖微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2011.

[10]C.Shen.Permanence and Global At－ Tractivity of the Food－Chin System w－ith HollingⅣType Functional Respon－se[J].Appl.Math.Comput，2007，194:179－ 185.