Banach空間中一類新的幾何常數(shù)

張海霞，崔歡歡，李 浩

（1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng) 453007；2.洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽 471022）

Banach空間中一類新的幾何常數(shù)

張海霞1，崔歡歡2，李 浩1

（1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng) 453007；2.洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南洛陽 471022）

對Banach空間的一致非方性質(zhì)進行了刻畫，引入一類幾何常數(shù)H（X）和h（X）并得到常數(shù)H（X）和凸性模δX（ε）的關(guān)系等式，且證明了Banach空間一致非方的充分必要條件是H（X）不超過2。另外，計算了一些具體Banach空間上常數(shù)H（X）和h（X）的精確值。

Banach空間；調(diào)和平均；一致非方

0 引言

1964年，James引入了Banach空間是一致非方的概念，若存在δ＞0，使對任意x，y∈S（X），有不等式成立，則稱Banach空間是一致非方的［1］。1976年，Sch?ffer給出了一致非方的等價定義，即如果存在λ＞0，使對任意立，則稱Banach空間是一致非方的［2］。

為了精確刻畫這一幾何性質(zhì)，高繼在1982年定義了下面的幾何常數(shù)：

并證明了Banach空間X是一致非方的，當(dāng)且僅當(dāng)J（X）＜2（或S（X）＞1），其中，J（X）和S（X）分別被稱為James和Sch?ffer常數(shù)［3］。1986年，Casini證明了在任何非平凡Banach空間中有J（X）S（X）＝2［4］。

空間上類似的常數(shù)以及這些常數(shù)之間的關(guān)系、精確值和空間上的幾何性質(zhì)如正規(guī)結(jié)構(gòu)（由此得到不動點理論）得到了廣泛的研究，同時，許多文章還證明了這些常數(shù)和非常著名的Clarkson凸性模聯(lián)系緊密［5－12］。

2000年，Baronti等利用算術(shù)平均引入了如下常數(shù)：

2008年，A lsonso和Fuster利用幾何平均引入了如下常數(shù)：

除算術(shù)與幾何平均外，另外一類重要的平均就是調(diào)和平均：

其中，a，b是兩個正實數(shù)。將根據(jù)調(diào)和平均在Banach空間中引入兩個新的幾何常數(shù)，并給出了這兩個常數(shù)和上面常數(shù)的關(guān)系，由此可以更好地計算一些重要空間的常數(shù)精確值。

1 基礎(chǔ)知識

定義1［10］X上的Clarkson凸性模為函數(shù)δX：［0，2］→［0，1］，

由文獻［10］知：X是一致非方的當(dāng)且僅當(dāng)存在ε∈（0，2）使得δX（ε）＞0。

1937年，Clarkson引入了下面的幾何常數(shù)。

定義2［11］X上的von Neumann-Jordan constant常數(shù)CNJ（X）定義為：

2 參數(shù)H（X）與h（X）的性質(zhì)及與一致非方的關(guān)系

其中，M（a，b）關(guān)于b＞0單調(diào)遞增。

推論1Banach空間X一致非方當(dāng)且僅當(dāng)H（X）＜2。

由定義易得如下結(jié)論：

定理3對任何Banach空間X成立，

下面的一些結(jié)論表明上述定理中一些嚴(yán)格不等式成立，從而表明本文的估計非常精確。

3 具體空間上參數(shù)H（X）或h（X）的精確值

［1］ James R C.Uniform ly Non-square Banach Spaces［J］.Ann of Math，1964，80：542－550.

［2］ Sch?ffer J J.Geometry of Spheres in Normed Spaces［M］.New York：Dekker，1976.

［3］ Gao J.The Uniform Degree of the Unit Ball of a Banach Space［J］.Nanjing Daxue Xuebao，1982，1：14-28.

［4］ Casini E.About Some Parameters of Normed Linear Space［J］.Atti Accad Linzei Rend Fis Ser，1986，80（VIII）：11-15.

［5］ 楊長森，鄭亞男，王亞敏.廣義高繼常數(shù)的一些性質(zhì)［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，39（1）：6－9.

［6］ Yang C S，Li H Y.An Inequality On Jordan-Vonneuma-Nnconstant and James Constant On Zp，qSPACE［J］.Journal of Mathematical Inequalities，2013，7（1）：97－102.

［7］ 張海霞，關(guān)曉紅，楊長森.常數(shù)H（a，X）與一致正規(guī)結(jié)構(gòu)［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，45（3）：363－365.

［8］ Baronti M，Casini E，Papini P L.Triangles Inscribed in Semicircle，in Minkowski Plane，and in Normed Spaces［J］.JMath Anal Appl，2000，252：121－146.

［9］ Alonso J，Llorens-Fuster E.Geometric Mean and Triangles Inscribed in a Semicircle in Banach Spaces［J］.JMath Anal Appl，2008，340：1271－1283.

［10］ Kato M，Maligranda L，Takahashi Y.On James and Jordan-von Neumann Constants and the Normal Structure Coefficient of Banach Spaces［J］.Studia Math，2001，144：275－295.

［11］ Clarkson J A.The Von Neumann-Jordan Constant for the Lebesgue Space［M］.Ann of Math，1937，38：114－115.

［12］ Kato M，Maligranda L.On James and Jordan-von Neumann Constants of Lorentz Sequence Spaces［J］.JMath Anal App l，1998，258：457－465.

O177.2

A

1672－6871（2014）01－0079－04

國家自然科學(xué)基金項目（11126284）；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃項目（102300410012）

張海霞（1978－），女，河南滑縣人，副教授，碩士，主要從事泛函分析方面的研究.

2012－04－17