一類模糊合作博弈及其核心

王鋒葉，黃志勇，尚有林，陳 鵬

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南洛陽 471023）

一類模糊合作博弈及其核心

王鋒葉，黃志勇，尚有林，陳 鵬

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南洛陽 471023）

基于經(jīng)典的具有無限多局中人的合作博弈，定義了具有Choquet積分形式的模糊合作博弈，討論了所定義模糊合作博弈的單調(diào)性、超可加性及缺原子性等性質(zhì)，證明了這類模糊合作博弈的核心的存在性及其表示形式。

模糊合作博弈；Choquet積分；核心

0 引言

由參與合作博弈的局中人的多少，合作博弈可分為n人合作博弈（局中人有限）與局中人無限的合作博弈。在利用n人合作博弈進行經(jīng)濟分析時，有限局中人的合作博弈不能很好的解決自由市場中的很多博弈問題，如微觀經(jīng)濟學(xué)中的安全經(jīng)濟市場，這就需要一種大量局中人參與的博弈，稱為局中人無限的合作博弈，其局中人的集合用無窮集合表示，博弈用定義在無窮集合上的集函數(shù)來表示。

當(dāng)合作博弈中的局中人以一定程度參與某個聯(lián)盟，且可參與多個聯(lián)盟時，這種合作博弈就是模糊合作博弈。目前，對模糊合作博弈的研究主要是n人合作博弈。文獻［1］提出了一個模糊環(huán)境下的Shapley函數(shù)，并證明了這個Shapley函數(shù)是一個模糊總體單調(diào)分配函數(shù)。文獻［2］基于Hukuhara差，給出了特征函數(shù)模糊及聯(lián)盟模糊的n人博弈的Shapley函數(shù)形式。文獻［3－4］從改進聯(lián)盟結(jié)構(gòu)的角度研究博弈問題，得到了聯(lián)盟模糊的合作博弈的Shapley函數(shù)的簡單表示。文獻［5］定義了一類特殊的n人模糊聯(lián)盟，并對其模糊核心的存在性問題進行了研究。文獻［6］給出了具有多線性拓展形式的模糊合作博弈的Shapley函數(shù)，并對其唯一性及性質(zhì)進行詳細(xì)的研究。文獻［7］討論了支付是模糊數(shù)情形的合作博弈的Shapley值，構(gòu)造了模糊Shapley值隸屬函數(shù)。目前，對局中人無限的模糊合作博弈的研究則很少。文獻［8］基于三角模測度對局中人無限的模糊合作博弈的Aumann-Shapley值的存在性及表示形式進行了詳細(xì)的研究。文獻［9－10］也對局中人無限的模糊合作博弈的性質(zhì)進行了研究。

本文利用經(jīng)典的合作博弈定義了一類特殊的局中人無限的模糊合作博弈，并對其具有的一些性質(zhì)進行了證明，最后，研究了這類特殊模糊合作博弈的核心存在性及表示形式。

1 基本概念

設(shè)可測空間（X，C），其中，X表示局中人的集合，C是X的所有子集組成的σ-代數(shù)，表示由局中人組成的所有可能聯(lián)盟的全體。可測空間（I，β）是與（X，C）同構(gòu)的可測空間，其中，I為區(qū)間［0，1］，β是由［0，1］的子集構(gòu)成的Borel集族。一個具有無限局中人的合作博弈（或具有連續(xù)統(tǒng)局中人的合作博弈）v是定義在可測空間（X，C）上的實值集函數(shù)，即v：C→?，滿足v（?）＝0。

定義1［11］設(shè)v為具有無限多局中人的合作博弈，若對任意的A∈C，v（A）≠0，總存在A的子集B∈C，使得v（B）?｛0，v（A）｝，則稱v是缺原子的。

所有缺原子博弈的集合記為NA，所有單調(diào)缺原子博弈的集合記為NA＋，所有單調(diào)缺原子博弈的冪生成的空間記為pNA。

定義2［11］設(shè)v為具有無限多局中人的合作博弈，若對任意A、B∈C，且A∩B＝?，有v（A∪B）≥v（A）＋v（B），則稱v是超可加的。

定義3［11］設(shè)v*是由v擴張而成的博弈，滿足v*（χA）＝v（A），這里，A∈C，χA是A的特征函數(shù)。若對所有的α∈［0，1］，A∈C，有v*（αχA）＝αv（A），則稱博弈v是一階齊次的。

定義4［11］設(shè)v為具有無限多局中人的合作博弈，如果存在有限可加函數(shù)m：C→?，使得m（X）＝v（X），m（A）≥v（A），A∈C，則稱函數(shù)m為博弈v的一個核心。

博弈v的所有核心的集合記為Core（v）。

引理1［11］設(shè)v∈pNA，且具有超可加性與一階齊次性，則博弈v存在唯一的核心。

對于具有無限多局中人的合作博弈，當(dāng)局中人以一定程度參與某個聯(lián)盟，這種博弈稱為模糊博弈，聯(lián)盟稱為模糊聯(lián)盟，利用將（X，C）映射到（I，β）的可測函數(shù)A表示。對任意的x∈X，A（x）表示局中人x參與模糊聯(lián)盟A的程度，也是x對模糊集A的隸屬度。對任意的α∈［0，1］，模糊集A的水平集為Aα＝，X的所有在［0，1］上可積的模糊集的全體記為F（X）。

一個具有無限局中人的模糊合作博弈v定義為將F（X）映射到?且滿足v（φ）＝0的集函數(shù)，G（X）表示所有模糊博弈的集合。

本文中，兩個模糊集的交與并定義為：

定義5設(shè)v∈G（X），若對任意的A∈F（X），v（A）≠0，總存在A的子集B∈F（X），使得v（B）?｛0，v（A）｝，則稱v是缺原子的。

定義6設(shè)v∈G（X），若對任意的A、B∈F（X），且A∩B＝?，有v（A∪B）≥v（A）＋v（B），則稱v是超可加的。

2 具有Choquet積分形式的模糊合作博弈

定義7 設(shè)X為局中人的集合（相互作用組成模糊聯(lián)盟A），A是X的模糊子集且其水平集為Aα＝那么一個博弈v∈G（X）稱為具有Choquet積分形式的模糊合作博弈，如果滿足

其中，等式右端的積分是Lebesgue積分；v0是定義在X上經(jīng)典單調(diào)博弈，記v0的全體集合為G0（X），具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的全體為GC（X）。

由Choquet積分的定義知，式（1）的右端積分是函數(shù)A在X上關(guān)于v0的Choquet積分［12－13］，即

特別地，當(dāng)A為經(jīng)典集合時，v（A）＝v0（A），即經(jīng)典博弈v0是具有Choquet積分形式的模糊博弈的特殊情形，它們之間的關(guān)系是一一對應(yīng)的。從而稱v0為相應(yīng)于v的經(jīng)典博弈。

當(dāng)v0為經(jīng)典測度即可列可加測度且A在［0，1］上可積，那么式（2）中的Choquet積分就為A在［0，1］上關(guān)于測度v0的Lebesgue積分，記這類具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的全體為GL（X）。顯然，GL（X）?GC（X）。

性質(zhì)1若v0∈G0（X）是超可加的，則模糊博弈v∈GC（X）也是超可加的。

證明對任意的模糊集A、B∈F（X），A∩B＝?，α∈［0，1］有：（A∪B）α＝Aα∪Bα。從而，

所以，模糊博弈v∈GC（X）是超可加的。

性質(zhì)2若v0∈G0（X）是單調(diào)的，則v∈GC（X）也是單調(diào)的。

3 具有Choquet積分形式的模糊博弈的核心

定義8設(shè)有限可加函數(shù)m：F（X）→?，若

則稱m為模糊博弈v的一個核心，v的所有核心的集合記為Core（v）。

定理1設(shè)v∈GL（X）是具有Choquet積分形式的模糊博弈，定義有限可加函數(shù)m：F（X）→?為

其中，m0是經(jīng)典博弈v0∈G0（X）的一個的核心，v0是相應(yīng)于v∈GL（X）的經(jīng)典博弈，則m是博弈v∈GL（X）的一個核心。

證明先證m是有限可加的。設(shè)模糊集A、B∈F（X），且A∩B＝?，則對任意的α∈［0，1］，Aα∩Bα＝?。因為m0是有限可加的，所以，對任意的α∈［0，1］，有

即m是有限可加的。

下證m是v的核心。

因為m0是博弈v0∈G0（X）的一個核心，則由核心的定義知m0（X）≤v0（X），又因為對任意的α∈［0，1］，有

定理1表明：若經(jīng)典博弈是可列可加的，且核心存在，則對應(yīng)的具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的核心也存在，且可用經(jīng)典博弈的核心的Lebesgue積分形式表示。

定理2設(shè)v∈GL（X），與v相應(yīng)的經(jīng)典博弈v0∈pNA且具有超可加性與一階齊次性，則v∈GL（X）存在唯一的核心。

證明由引理1知，博弈v0存在唯一的核心m0。又由定理1及v與v0的一一對應(yīng)性知，與v0對應(yīng)的模糊博弈v∈GL（X）也存在核心m，且

4 結(jié)論

本文定義了具有Choquet積分形式的具有無限多局中人的模糊合作博弈，討論了這類博弈的超可加性、單調(diào)性及缺原子性，證明了基于經(jīng)典測度的具有Choquet積分形式的模糊合作博弈的核心存在性及其積分表示形式。對本文所定義的模糊合作博弈，還可進一步研究其值的存在性及其與核心之間的關(guān)系等問題。

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O225

A

1672－6871（2014）01－0075－04

國家自然科學(xué)基金項目（10971053）；河南省教育廳自然基金項目（12B110007）

王鋒葉（1979－），女，山西運城人，講師，博士，研究方向為模糊決策，博弈論.

2012－12－04