譚 軍
(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 401331)
定義1[1]設(shè)E是一致凸Banach空間,C是E的非空子集,稱映射T:C→C為非擴(kuò)張映射,如果對(duì)任意的x,y∈C,有‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖.
定義2[2]設(shè)E是賦范線性空間,C是E的非空凸子集,映射T:C→C,對(duì)?x1∈C,{tn}{sn}?[0,1],稱迭代序列
為修改的Ishikawa迭代序列.
定義3 設(shè)E是Banach空間,C是E的非空子集,α,β是實(shí)數(shù),且α<1,β<1,稱映射T:C→E為廣義α-β-非擴(kuò)張映射,如果滿足
證明 由于T:C→C為廣義的 α-β-非擴(kuò)張映射,對(duì)于?w∈F(T)和?z∈C,有‖Tnz-w‖2≤α‖Tnz-w‖2+β‖w-z‖2+(1-(α+β))‖z-w‖2.于是(1-α)‖Tnz-w‖2≤(1-α)‖z-w‖2,又因?yàn)?α<1,所以,‖Tnz-w‖≤‖z-w‖,從而有
d(xn,F(xiàn))=0,由式(2)可知
定理3 設(shè)E是一致凸Banach空間,C是E的非空閉凸子集,T:C→C是廣義α-β-非擴(kuò)張映像,且{xn}是由修改了的 Ishikawa迭代程序(1)所定義的序列,其中,{tn}{sn}滿足條件tn∈[a,b]且sn∈[0,b],或tn∈[a,1]且sn∈[a,b],對(duì)某些0<a≤b<1,F(xiàn)(T)非空,則‖Tnxn-xn‖→0(n→∞).
由于
故有
進(jìn)一步,有
因?yàn)?/p>
故得到
所以有
[1]張石生.不動(dòng)點(diǎn)理論及應(yīng)用[M].重慶:重慶出版社,1984
[2]ISHIKAWA S.Fixed Points by a New Iteration Method[J].Proc Amer Math Soc,1974(44):147-150
[3]李智,崔云安,張新.漸進(jìn)非擴(kuò)張映射的三步迭代序列的收斂定理[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,25(2):234-236
[4]SCHU J.Weak and Strong Convergence to Fiexd Points of Asymptotically Nonexpansive Mappings[J].Bull Austral Math soc,1991(43):153-159
[5]江雪梅,鄧瓔函.Banach空間中α-β-非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)定理[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,37(10):10-12