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    關(guān)于并集合的冪集運(yùn)算性質(zhì)的注記

    2017-09-21 04:41:51常大全
    課程教育研究 2017年35期
    關(guān)鍵詞:集合論空子科學(xué)出版社

    常大全

    【摘要】對于兩個(gè)集合的并集的冪集,有性質(zhì)P(A)∪P(B)?哿P(A∪B)成立。本文給出該性質(zhì)中取得“=”的充分必要條件,以及當(dāng)不取“=”時(shí)并集合的冪集的一個(gè)表達(dá)公式。

    【關(guān)鍵詞】并集 冪集

    【中圖分類號】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089(2017)35-0149-02

    命題1 P(A)∪P(B)=P(A∪B)的充分必要條件是A、B具有子集關(guān)系(即A?哿B或B?哿A)

    證明:充分性:當(dāng)A、B具有子集關(guān)系時(shí),不妨設(shè)A?哿B,則P(A)?哿P(B)。所以

    P(A)∪P(B)=P(B)。又由A?哿B得A∪B=B,則P(A∪B)=P(B)。所以

    P(A)∪P(B)=P(A∪B)成立。必要性:假設(shè)A、B不具有子集關(guān)系,易見此時(shí)A、B均非空,且A中至少有一個(gè)元素不在B中,以及B中也至少有一個(gè)元素不在A中。設(shè)a∈A,a?埸B,b∈B,b?埸A。則A={a,…},B={b,…},易見a≠b。

    記A∪B={a,b…}。因?yàn)閧a,b}?哿A∪B={a,b…},所以{a,b}∈P(A∪B)。因?yàn)?/p>

    P(A)∪P(B)=P(A∪B),故也有{a,b}∈P(A)∪P(B)。所以

    {a,b}∈P(A),或{a,b}∈P(B),即{a,b}?哿A,或{a,b}?哿B。所以b∈A={a,…}或

    a∈B={b,…},這與b?埸A,a?埸B矛盾。所以假設(shè)不成立。因此A、B具有子集關(guān)系。

    命題2:設(shè)C=A∪B,A、B不具有子集關(guān)系,

    M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2,使z=z1∪z2},

    N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2,以及A∩B的非空子集z3,使z=z1∪z2∪z3}則:P(A)∪P(B)∪M∪N=P(C)

    證明 易見P(A),P(B),M,N都是P(C)的子集,所以

    [P(A)∪P(B)∪M∪N]?哿P(C)。現(xiàn)在證P(C)?哿[P(A)∪P(B)∪M∪N]也成立。因A、B不具有子集關(guān)系,故易見此時(shí)A、B、A-B,B-A均非空。?。扣衵∈P(C),則z?哿C。當(dāng)z=?覫時(shí),z∈P(A),z∈P(B)。所以z∈[P(A)∪P(B)∪M∪N]。當(dāng)z≠?覫時(shí),???坌x∈z,這里z?哿C=A∪B=(A-B)∪(B-A)∪(A∩B)。所以x∈A-B或x∈B-A或x∈A∩B。下面對x所屬的范圍分類討論。

    I:當(dāng)A∩B≠?覫時(shí),此時(shí)易見N≠?覫。

    ①A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B

    ②A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于B-A

    ③A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A∩B

    ④A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和B-A這兩部分,即是說僅取自于(A-B)∪(B-A),且z中既有A-B的元素,也有B-A的元素

    ⑤A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和A∩B這兩部分,即是說僅取自于(A-B)∪(A∩B),且z中既有A-B的元素,也有A∩B的元素

    ⑥A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于B-A和A∩B這兩部分,即是說僅取自于(B-A)∪(A∩B),且z中既有B-A的元素,也有A∩B的元素

    ⑦A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和B-A以及A∩B這三部分,即是說僅取自于(A-B)∪(B-A)∪(A∩B),且z中既有B-A的元素,也有A-B的元素,還有A∩B的元素

    II:當(dāng)A∩B=?覫時(shí),此時(shí)易見N=?覫。

    ①A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B

    ②A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于B-A

    ③A∪B的非空子集z中的元素x僅取自于A-B和B-A這兩部分,即是說僅取自于(A-B)∪(B-A),且z中既有A-B的元素,也有B-A的元素

    對于I的①有z?哿A-B?哿A,所以z∈P(A),

    對于I的②有z?哿B-A?哿B,所以z∈P(B),

    對于I的③有z?哿A∩B?哿A,所以z∈P(A),

    對于I的④有:

    z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2,使z=z1∪z2},

    對于I的⑤有z?哿(A-B)∪(A∩B)=A,所以z∈P(A),

    對于I的⑥有z?哿(B-A)∪(A∩B)=M,所以z∈P(B),

    對于I的⑦有:

    z∈N={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2,以及A∩B的非空子集z3,使z=z1∪z2∪z3},

    對于II的①有z?哿A-B?哿A,所以z∈P(A),

    對于II的②有z?哿B-A?哿B,所以z∈P(B),

    對于II的③有

    z∈M={z|存在A-B的非空子集z1和B-A的非空子集z2,使z=z1∪z2},

    綜上,無論上述哪種情形,都有z∈P(A)或z∈P(B)或z∈M或z∈N成立。所以 z∈[P(A)∪P(B)∪M∪N]。這樣P(C)?哿P(A)∪P(B)∪M∪N也成立。

    所以P(A)∪P(B)∪M∪N=P(C)。

    結(jié)論:

    本文揭示了A,B,A∪B三者的冪集之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過對這一問題的研究,加深了對集合冪集運(yùn)算的了解。今后以此為基礎(chǔ),可進(jìn)一步地研究集合的廣義并、廣義交與集合的冪集運(yùn)算的關(guān)系,從而得到一些更為豐富的相關(guān)結(jié)果。

    參考文獻(xiàn):

    [1]戴牧民.公理集合論導(dǎo)引[M].科學(xué)出版社,2011

    [2]董延闿.基礎(chǔ)集合論[M]北京師范大學(xué)出版社,1988

    [3]集合論初步(p.w.齊納 r.l.約翰遜)[M].科學(xué)出版社,1986endprint

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