用概率方法證明兩個函數(shù)的單調(diào)性

方龍祥

[摘 要]在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，證明函數(shù)的單調(diào)性，通常是利用定義求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)的符號來判斷?？梢酝ㄟ^引進(jìn)一個非負(fù)隨機(jī)變量，利用此隨機(jī)變量的一階原點(diǎn)矩與二階原點(diǎn)矩之間的關(guān)系，證明函數(shù)的單調(diào)性。

[關(guān)鍵詞]單調(diào)性 遞增故障率 遞增平均故障率

[中圖分類號] O174 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）05-0044-02

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，證明函數(shù)的單調(diào)性，通常是利用定義求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)的符號來判斷。但是，我們也會遇到導(dǎo)數(shù)的符號很難判斷或者無法判斷的情形，這時我們可以用概率方法來處理這樣的問題。我們引進(jìn)一個非負(fù)隨機(jī)變量，此隨機(jī)變量有遞增故障率，利用其一階矩與二階矩之間的一個關(guān)系，就能很簡單的判斷出函數(shù)的單調(diào)性。

首先，我們介紹兩個引理。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] Misra， N.， Misra， A.K. （2013）. On comparison of reversed hazard rates of two parallel systems comprising of independent gamma components. Statistics and Probability Letters 83： 1567–1570.

[2] Barlow， R.E.， Proschan， F. （1975）. Statistical theory of reliability and life testing： probability models. Holt， Rinehart and Winston， New York.

[責(zé)任編輯：林志恒]