分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

漢桂英

普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)的實施要求我們教師在教學(xué)中將培養(yǎng)學(xué)生的能力放在首要地位. 數(shù)學(xué)思想的滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中也尤為顯得重要. 分類討論是我們在解決某些數(shù)學(xué)問題時常用的一種邏輯方法，分類討論也是一種數(shù)學(xué)思想，運用這種思想在解題時可以分解題目研究對象，進而達(dá)到簡化題目難度，可以幫助發(fā)展學(xué)生的思維能力. 因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中始終占有重要地位.

所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答. 實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的一種數(shù)學(xué)策略.

下面，舉例說明分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 一、選定適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)對所研究的問題進行分類

進行分類討論時，首要解決的是：對誰分類，即分類對象是什么？其標(biāo)準(zhǔn)是什么？對于一道數(shù)學(xué)題目，首先認(rèn)真審題，研究要分類討論的對象，分類的對錯好壞確定題目解法的最終結(jié)果，直接影響解題的成敗. 分類時尤其要注意不能有重復(fù)，更不能有遺漏，分類標(biāo)準(zhǔn)也應(yīng)當(dāng)一致.

例1 一條直線過點（5，2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線方程為（ ）.

A. x + y - 7 = 0 B. 2x - 5y = 0

C. x + y - 7 = 0或2x - 5y = 0

D. x + y - 7 = 0或2x + 5y = 0

分析 此題需要確定直線方程的形式可否寫成截距式，所以需要分類討論截距是否為0，否則會漏解.

二、討論時應(yīng)注意每個分類的前提條件，綜合作答時，也要注意每個分類討論的條件

分類的目的是為了化繁為簡，再逐一討論解答每一類問題，而討論時應(yīng)緊扣分類這個前提，此時，相當(dāng)于給問題增設(shè)了題設(shè)條件，因而，使問題得到解決. 較復(fù)雜的題目會出現(xiàn)多級分類，討論時應(yīng)逐級進行，不能越級，書寫時條理要清晰.

例2 已知集合A = {x|x2 = 1}，B = {x|ax = 1}，若B？哿A，求實數(shù)a 的取值集合.

分析 由于A = {-1，1}，所以分兩種情況討論.

解 （1）B = ？準(zhǔn)，此時a = 0；

三、分類討論思想是一種解題策略

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是解決數(shù)學(xué)問題常常用到的一方法，但對于大多數(shù)學(xué)生來說是覺得很繁瑣又是很難掌握的，這需要教師在教學(xué)過程中有耐心，循序漸進地養(yǎng)成良好的分類討論意識，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和靈活性的最終目的. 但是高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想不是只有這一種，在實際解題過程中如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程思想、化歸的思想等解題思想方法就可以避免麻煩的分類討論，或者簡化分類討論的對象，從而更加準(zhǔn)確、快速地解決問題. 所以在教學(xué)中一定避免讓學(xué)生機械記憶，盲目套用，在解題過程中要引導(dǎo)學(xué)生選擇正確的解題思路，向?qū)W生介紹一些探索問題的方向和方法.

例3 實數(shù)k為何值時，方程kx2 + 2|x| + k = 0有實數(shù)解？

對于數(shù)學(xué)題目何時需要分類討論，則要根據(jù)題中所給條件而定，并沒有硬性的規(guī)定，更沒有直接可以套用的公式和規(guī)律. 我們只有在教學(xué)時不斷積累經(jīng)驗，不斷改進方法，才能使學(xué)生正確合理地應(yīng)用分類討論. 在解題時，應(yīng)注意挖掘題目中的極個別情形進行分類討論. 例如：“方程ax2 + bx + c = 0有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ = b2 - 4ac時忽略了個別情形：當(dāng)a = 0時，方程雖然有解但不能轉(zhuǎn)化為Δ ≥ 0；又如：設(shè)直線方程時，不能直接設(shè)直線的斜率為k，當(dāng)直線與x軸垂直時，直線無斜率，應(yīng)另行考慮，這樣直線方程要分有斜率和沒有斜率兩類情形討論；再如：等比數(shù)列{an}的前n項和公式也是分為q = 1和q ≠ 1兩類情形給出的，等等類似問題都需要分類考慮.

在解數(shù)學(xué)題中強化數(shù)學(xué)思想，對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是很有益的. 在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，還要注意發(fā)展學(xué)生的個性心理，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用知識，敢于創(chuàng)新勇于探索的精神. 要將分類討論思想靈活運用于數(shù)學(xué)解題過程中，不是一朝一夕就能做到的. 這需要把這種思想滲透在自己的教學(xué)中，也就是要長期不間斷地引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點去觀察、分析各類具體問題. 在解題教學(xué)過程中為學(xué)生留下思維的時間和空間，才能將數(shù)學(xué)思想真正融會在解題過程中.