紙上得來(lái)終覺(jué)淺，須知此事要躬行

丁蕾

摘 要：高中數(shù)學(xué)是一門(mén)對(duì)學(xué)生思維能力要求較高的學(xué)科，學(xué)生普遍反映上課都能聽(tīng)得懂，但獨(dú)立做作業(yè)時(shí)就出現(xiàn)不會(huì)做的現(xiàn)象. 本文從兩方面入手深入研究了這一問(wèn)題，首先是分析“懂而不會(huì)”現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，并對(duì)“懂”和“會(huì)”做深層次的界定. 其次，從抓基礎(chǔ)、練技能、明思維三方面入手嘗試解決這一問(wèn)題，通過(guò)這三個(gè)階段的層層推進(jìn)，努力幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的這一難題.

關(guān)鍵詞：教學(xué)研究、“懂而不會(huì)”、解決策略

筆者所在學(xué)校是一所市級(jí)四星級(jí)學(xué)校，學(xué)校的生源屬于第二流的類型.筆者近幾年來(lái)常在高三擔(dān)任普通班的數(shù)學(xué)教學(xué)工作. 幾年來(lái)，有一個(gè)問(wèn)題在班級(jí)中的許多學(xué)生身上普遍存在，那就是“懂而不會(huì)”，越來(lái)越多的學(xué)生，尤其是基礎(chǔ)不是特別好的學(xué)生，他們經(jīng)常會(huì)說(shuō)：“老師，我聽(tīng)懂了，但是做題的時(shí)候還是不會(huì)，或者說(shuō)，只要題目有點(diǎn)小變化，就沒(méi)法解決了.” 這個(gè)問(wèn)題一直困擾著學(xué)生，同時(shí)也困擾著我，那么，為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，又如何去解決這個(gè)問(wèn)題，下面筆者就這些問(wèn)題提點(diǎn)簡(jiǎn)單的看法和建議.

■“懂而不會(huì)”出現(xiàn)的原因

1. 何為“懂”

為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，首先我們要對(duì)“懂”這個(gè)字做點(diǎn)解釋. “懂”是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)基本境界，而“會(huì)”是一個(gè)更高的境界. 學(xué)生所認(rèn)為的“懂”一般只局限于他在課堂上能夠聽(tīng)懂老師所講的，能跟上老師的講題節(jié)奏，按照老師的指引和啟發(fā)解決題目，這僅僅是就題論題. 這種懂是淺層次的，對(duì)于高三的學(xué)生，這種能力和要求是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的. 我們教師所要求的“懂”應(yīng)該是懂做題的思路，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言來(lái)轉(zhuǎn)化，從而把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；懂解題的方法，會(huì)把數(shù)學(xué)中的四種基本方法分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程融會(huì)貫通；懂整套高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，會(huì)把知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)綜合運(yùn)用，這才是復(fù)習(xí)階段學(xué)生所應(yīng)該達(dá)到的更高層次.

2. 何為“會(huì)”

我們又是如何去衡量一個(gè)學(xué)生是否“會(huì)”呢？當(dāng)“懂而不會(huì)”中的“懂”成了學(xué)生的一種錯(cuò)誤的個(gè)人體驗(yàn)時(shí)，“不會(huì)”就不是真正的“懂”. 如何判斷學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)達(dá)到了“懂而會(huì)”呢？我們教師可以在教學(xué)過(guò)程中觀察學(xué)生的外在表現(xiàn)，分析他們的思維過(guò)程，從多角度了解學(xué)生“會(huì)”的程度.我們主要可以從這三種角度來(lái)衡量——“會(huì)說(shuō)”、“會(huì)認(rèn)”和“會(huì)用”. 首先是“會(huì)說(shuō)”，看學(xué)生能否用自己的語(yǔ)言來(lái)正確描述新的數(shù)學(xué)概念、公式、定理等內(nèi)涵，是否能夠在原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容做出自己的合理建構(gòu)，并發(fā)表見(jiàn)解. 其次是“會(huì)認(rèn)”，要判斷學(xué)生是否能認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，數(shù)學(xué)是對(duì)具體事物的抽象化，從而能上升到理論知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵于形形色色的具體情境之中. 會(huì)認(rèn)就是要在大千世界中能夠識(shí)別出富有內(nèi)涵的數(shù)學(xué)，能夠在具體情境中認(rèn)出其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)知識(shí). 最后是“會(huì)用”，學(xué)生能否進(jìn)行靈活運(yùn)用是衡量“會(huì)”的根本所在，所謂靈活運(yùn)用，就是指拋開(kāi)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)的情境，學(xué)生能夠快速、準(zhǔn)確地抓住問(wèn)題的本質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本知識(shí)與技能和數(shù)學(xué)精神、思想、方法去分析、解決問(wèn)題.

學(xué)生如果能夠達(dá)到“會(huì)”的三個(gè)層次，從而舉一反三、觸類旁通地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，才說(shuō)明他已真正的理解，這樣的“會(huì)”，是融會(huì)貫通的“會(huì)”，是深刻理解的“會(huì)”，是能夠應(yīng)對(duì)多種問(wèn)題情境的“會(huì)”. 唯有這樣，才能實(shí)實(shí)在在地提高解題能力.

筆者曾用這樣一道題對(duì)高二和高三的學(xué)生做了調(diào)查和對(duì)比.

例 如圖1，給定兩個(gè)模長(zhǎng)為1的平面向量■和■，它們的夾角為120°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，若■=x■+y■，其中，x，y∈R，求x+y的最大值.

■

圖1

思路1：考慮到向量和夾角，圖形又比較常規(guī)，所以采用建系的方式，寫(xiě)好點(diǎn)坐標(biāo)，先通過(guò)同角三角函數(shù)關(guān)系sin2α+cos2α=1消元轉(zhuǎn)化為兩元求最值問(wèn)題，然后通過(guò)基本不等式解決；

思路2：條件中有向量的模長(zhǎng)和夾角，所以可以考慮兩邊平方，依然可已轉(zhuǎn)化為兩元求最值問(wèn)題，下面解法同1；

思路3：較為靈活，考慮到角度問(wèn)題，可在等式兩邊分別點(diǎn)乘■，■，再通過(guò)向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為x+y=Asin（ωx+φ）+b的三角函數(shù)在給定區(qū)間上求最值問(wèn)題.

思路4：如果是填空題還可以直接利用層高原理的性質(zhì)，利用直線和圓的相切問(wèn)題解決.

同樣一道題，在新授課和復(fù)習(xí)課這兩個(gè)不同的時(shí)段讓學(xué)生來(lái)解決，區(qū)別很大. 高二學(xué)生一般只能運(yùn)用一種思路解決問(wèn)題，如果遇到困難，就很難完成.而經(jīng)過(guò)幾輪復(fù)習(xí)的高三學(xué)生，對(duì)此類問(wèn)題的解決就比較靈活，思路寬泛，能多角度、多層次地考慮問(wèn)題. 這時(shí)，我們說(shuō)學(xué)生是真正的懂了，而且懂了這一類問(wèn)題，今后碰到此類問(wèn)題都能信手拈來(lái)，并能在解題的過(guò)程中，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

■如何解決“懂而不會(huì)”現(xiàn)象

了解了“懂而不會(huì)”的原因后，我們要如何去解決這一現(xiàn)象呢？筆者想可以借用王國(guó)維的以下三個(gè)境界入手.

1. 抓基礎(chǔ)——獨(dú)上高樓，望盡天涯路

任何事情，基礎(chǔ)很重要，打好基礎(chǔ)才能建成高樓大廈. 學(xué)習(xí)是有延續(xù)性的，高中數(shù)學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程. 在新課的講授中作為教師一定要講到位，講透徹. 學(xué)生聽(tīng)懂，不會(huì)做，原因確實(shí)有很多方面，但很大程度上，是我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)長(zhǎng)期維持一種“為我”的狀態(tài)，而不是“為他”的狀態(tài). 獨(dú)上高樓，體現(xiàn)在我們教師的備課上，教師經(jīng)常從自我認(rèn)知的角度思考問(wèn)題，而不是從學(xué)生認(rèn)知的角度思考問(wèn)題. 而教師的思維與學(xué)生的思維難免存在一定的差異與脫節(jié)，學(xué)生是第一次接觸新知識(shí)，而教師是重復(fù)了很多遍了，這樣的日積月累必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的落后. 所以教師在備課上要精益求精，花更多的時(shí)間去鉆研講法，如何才能把一個(gè)新知識(shí)、一個(gè)新定理講透，講清，這就需要教師花大量的工夫去設(shè)計(jì)教學(xué)，并把教師的思維痕跡有效地“稚化”，要學(xué)會(huì)站在學(xué)生的角度看待問(wèn)題，通過(guò)生活中的情境，由淺入深，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力. 筆者把這個(gè)過(guò)程歸納為教師獨(dú)上高樓，增強(qiáng)專業(yè)技能，為學(xué)生打好堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

2. 練技能——衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴

數(shù)學(xué)作為一門(mén)理科學(xué)科，免不了要進(jìn)行大量的練習(xí)，正所謂“熟能生巧”. 數(shù)學(xué)大師陳省身先生主張要熟能生巧，華羅庚先生更有一個(gè)說(shuō)法“把薄的書(shū)讀厚，把厚的書(shū)讀薄”，前者是講“熟”，把每一個(gè)細(xì)節(jié)都弄清楚，然后把厚的書(shū)讀薄，那就是巧了. 作為學(xué)生，更是要在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，進(jìn)行科學(xué)的、系統(tǒng)的練習(xí).從某種角度來(lái)看，數(shù)學(xué)是技能型學(xué)科，用“三天不練手生”來(lái)形容絕不為過(guò)，因此數(shù)學(xué)是需要經(jīng)常練習(xí)的，并且不間斷. 在平時(shí)的作業(yè)中，還要注意提高做題的速度和正確率，在高考數(shù)學(xué)中，很少有人說(shuō)時(shí)間絕對(duì)的夠用，所以在復(fù)習(xí)階段，尤其要注意做題的時(shí)間，有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行解題訓(xùn)練，這樣才能達(dá)到良好的效果，當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中，也要防止“熟能生厭”、“熟能生笨”. 只有付出百般艱辛的努力，在題海中摸索的時(shí)間長(zhǎng)了，自然也就對(duì)題目了如指掌了，在解題過(guò)程中才能游刃有余，這一過(guò)程需要每一位高三學(xué)生付諸努力，天將降大任于斯人也，必將苦其心志，勞其體膚也. 只有全身心的投入，不懈地努力追求，才能打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為今后的解題奠定基礎(chǔ).

3. 明思維——眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處

前兩個(gè)階段踏踏實(shí)實(shí)地做好了，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也就成功一大半了，應(yīng)該說(shuō)接下來(lái)是一個(gè)水到渠成的過(guò)程. 也就是我們平常所說(shuō)的，教師試圖通過(guò)講一個(gè)題，而達(dá)到一類問(wèn)題都能解決的效果，而學(xué)生能夠做到舉一反三. 在高考前的復(fù)習(xí)階段，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們就要注重在變式引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)解題演練，變式教學(xué)的來(lái)源是考試的原因，不能出陳題.數(shù)學(xué)的變式教學(xué)就是通過(guò)不同的角度、不同的側(cè)面、不同的背景從多個(gè)方面變更所提供的數(shù)學(xué)對(duì)象的某些內(nèi)涵以及數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)內(nèi)容的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而本質(zhì)特征保持不變的數(shù)學(xué)形式. 通過(guò)變式訓(xùn)練可以讓學(xué)生很好掌握問(wèn)題的本質(zhì)，從而解決一類問(wèn)題，并能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思辨能力. 比如說(shuō)，

例 如函數(shù)f（x）=ax，x>1，4-■x+2，x≤1是R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

本題需要考慮指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，并進(jìn)行分類討論，還要考慮在端點(diǎn)值處的大小比較.

變題：把上題的x改為n且n∈N*，題目就將轉(zhuǎn)變?yōu)椴贿B續(xù)的函數(shù)，可考慮數(shù)列中的項(xiàng)的大小問(wèn)題.

再如，

例 已知不等式x2-2mx-1>0對(duì)一切x∈R都成立，則m的取值范圍是__________.

本題可以從二次函數(shù)的角度用Δ<0來(lái)解決.

變題1：已知不等式x2-2mx-1>0對(duì)一切1≤x≤3都成立，則m的取值范圍是__________.

變題2：已知不等式x2-2mx-1>0對(duì)一切1≤m≤3都成立，則x的取值范圍是__________.

變題1應(yīng)從恒成立問(wèn)題來(lái)解決，變題2由于變量換成m，應(yīng)看做直線來(lái)解決，所以題目上細(xì)微的區(qū)別，導(dǎo)致考查的知識(shí)點(diǎn)完全不同，所以通過(guò)變式訓(xùn)練，可以讓學(xué)生對(duì)比，并認(rèn)識(shí)到本質(zhì).

如果能夠很好地經(jīng)歷這三個(gè)階段，我們必將真正意義上解決“懂而不會(huì)”這個(gè)困擾學(xué)生已久的難題.