小心“溫水煮青蛙”

周蘇軍 任偉芳

摘 要：縱觀近幾年的高考試題，線性規(guī)劃的試題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，但部分省市已出現(xiàn)大題，分值有逐年加大的趨勢，簡單線性規(guī)劃正在成為一個高考熱點(diǎn). 從各地高考來看，不難發(fā)現(xiàn)對于該知識點(diǎn)主要是從“線性約束條件”和“（非）線性目標(biāo)函數(shù)”兩個角度來進(jìn)行考查. 拿考綱要求來分析高考線性規(guī)劃題，可以揣摩命題者的一些想法.

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；考綱要求；變式教學(xué)；引起警醒

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的線性規(guī)劃作為數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的一個典范，還承載著解決實(shí)際生活中的物質(zhì)調(diào)運(yùn)、產(chǎn)品安排、下料等問題.認(rèn)真分析研究近年各地高考試卷，可以發(fā)現(xiàn)這部分高考題大致有以下四個類型：求目標(biāo)函數(shù)的最值問題；求參數(shù)的取值問題；求約束條件問題；求面積問題. 但還有不少例外的情況，要小心溫水煮青蛙的變化.

先看一道高考題：

例1 （2013浙江省理科13）設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k=________.

其中給出的答案是：畫出可行域如圖1所示.

■

圖1

由可行域知，最優(yōu)解可能在A（0，2）或C（4，4）處取得. 若在A（0，2）處取得不符合題意；

若在C（4，4）處取得，則4k+4=12，解得k=2，此時符合題意.

先看命題的背景，2013年浙江省高考大綱的要求是：

1. 會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；

2. 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；

3. 會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.

這與2012年高考考綱中對線性規(guī)劃內(nèi)容要求分毫不差. 而2012年浙江省的線性規(guī)劃題目并沒有像以往那樣出現(xiàn)在填空題中，而是在22題的第3小題中，經(jīng)過列數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化才能顯現(xiàn)出來，應(yīng)該是體現(xiàn)了考綱中的第3條要求，而在2013年高考中，又回歸到了填空題中，看來是符合了考綱的第2條要求.由此可以看出在高考中，線性規(guī)劃問題要考到什么層次，并不那么確定.

縱向?qū)Ρ惹皫啄甑木€性規(guī)劃題：

例2 （2011浙江理科5）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+2y-5>0，2x+y-7>0，x≥0，y≥0，若x，y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是（ ）

A. 14？搖？搖？搖？搖 ？搖B. 16？搖？搖？搖？搖？搖？搖C. 17？搖？搖？搖？搖 ？搖D. 19

例3 （2010浙江理科7）若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m等于（ ）

A. -2？搖？搖？搖？搖 ？搖B. -1？搖？搖？搖？搖 ？搖C. 1？搖？搖？搖？搖 ？搖D. 2

這兩年的高考題緊扣考綱第2條要求，沒有涉及“會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組”這一要求.

再來看一下考綱對于學(xué)生能力的要求，涉及空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、 運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識以及創(chuàng)新意識. 總之對數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，就是以數(shù)學(xué)知識為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對知識的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力，從而檢測出考生理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.

從這幾年的高考來看，對于線性規(guī)劃的要求，從一開始的考查數(shù)學(xué)知識的理解和應(yīng)用向綜合和靈活的應(yīng)用能力過度，考查學(xué)生理性思維的深度有進(jìn)一步加強(qiáng)的趨勢.

再看2013年的高考題，從以往的計算最值轉(zhuǎn)變?yōu)閺淖钪党霭l(fā)，計算含參目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)，這是考查學(xué)生逆向思維的能力；而且參數(shù)是放在x變量的前面，又考查了學(xué)生的分類討論能力；相比2010年、2011年浙江省高考題，更能全面考查學(xué)生的能力.

如果在2010年考題上，再適當(dāng)?shù)刈兓幌?，也不失為一道好題.

1. （變式1）若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，mx-y≥0且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)m=________；

此題看似與原題一樣，但是將參數(shù)m放到了變量x之前，由其左右部分的判定的不確定性，適當(dāng)增加了其靈活性. 也可以進(jìn)行雙參數(shù)的變化，當(dāng)然其實(shí)質(zhì)性仍然沒有變化.如

2. （變式2）若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，mx+ny≥0且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)■=________；

3. （變式3）若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x+3y-3≥0，nx-y-3≤0，mx-y≥0且x+y的最大值為9，則實(shí)數(shù)■=________；

4. 同時2013年高考題也可以進(jìn)行這樣的改進(jìn)（變式四），設(shè)z=mx+ny，其中實(shí)數(shù)x，y滿足x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)■=________.

以上這些變式，僅僅是從形式上作了改變，但數(shù)學(xué)本質(zhì)仍然沒有變化，考試內(nèi)容仍然圍繞著考綱的第2條要求，題目的靈活性更強(qiáng)，對學(xué)生能力要求更高.

不妨大膽設(shè)想，以后的高考中線性規(guī)劃選擇、填空的題型，會不會從考綱的第3點(diǎn)“會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決”這個角度命題呢？

例4 已知鈍角三角形ABC的最大邊長為2，其余兩邊長為x，y，則以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)表示平面區(qū)域的面積是________.

■

圖2

此題以三角形為背景出發(fā)，用解三角形的知識寫出其約束條件x+y>2，x2+y2<4，0

例5 （2012江蘇14）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則■的取值范圍是________.

例6 （2012陜西14）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，x>0，-2x-1，x≤0，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在D上的最大值為________.

從近幾年的全國各地高考題來看，有些線性規(guī)劃高考題綜合性強(qiáng)，能力要求高，是能考查出學(xué)生對知識掌控和能力水平強(qiáng)弱的試題，這些題目往往在知識的交匯處命題，因此我們認(rèn)為線性規(guī)劃高考題的要求只會提高不會降低，在高考復(fù)習(xí)時教師要引起重視.