一道圓錐曲線試題的再探究

童殷

摘 要：本文通過(guò)研究某校的一道涉及圓錐曲線的月考試題，得到一個(gè)有用的結(jié)論，并將此結(jié)論進(jìn)行了一般化推廣.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；試題探究

在平時(shí)的教學(xué)中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多有價(jià)值的題目，教師不能就題論題，而應(yīng)認(rèn)真挖掘題目的豐富內(nèi)涵和背景，通過(guò)對(duì)一個(gè)有價(jià)值的基本問(wèn)題的研究，以變換問(wèn)題的條件、結(jié)論、設(shè)問(wèn)等方式可以有效提升學(xué)生的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的探索興趣.

試題呈現(xiàn)

已知橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率為 ，Q1， 在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）若P是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，PB并延長(zhǎng)，分別與右準(zhǔn)線l相交于M1，M2. 問(wèn)：是否存在x軸上定點(diǎn)D，使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

解：（1）由e= 得：a=2c，b= c，從而有：C： + =1（c>0）

又Q1， 在橢圓C上，故有 + =1，解得c=1.

所以橢圓C的方程為： + =1.

（2）設(shè)P（x1，y1），由（1）知：A（-2，0），B（2，0），l：x=4，

則直線AP的方程為：y= （x+2），由x=4得y= ，所以M14， ；同理得：M24， .

假設(shè)存在點(diǎn)D（t，0），使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D？圳 ⊥ =0？圳 · =0，即：（4-t）2+ =0.

又P（x1，y1）在橢圓C上，所以3x +4y =12，所以 =- . 代入上式得（4-t）2+12×- =0，解得t=1或7.

所以，存在D（1，0）或D（7，0），使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過(guò)程中，提高他們的才智與推理能力.” 仔細(xì)研究第2問(wèn)的結(jié)果，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問(wèn)題，即t=1= = ，t=7= = . 由此，我們便會(huì)想這樣的結(jié)論是否適合一般方程，雙曲線是否具有類(lèi)似的結(jié)論？下面我們對(duì)此進(jìn)行研究.

推廣探究

結(jié)論1：已知橢圓C： + =1（a>b>0），A，B為橢圓C的左、右頂點(diǎn). 若P是橢圓上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，PB并延長(zhǎng)，分別與右準(zhǔn)線l相交于M1，M2，則存在x軸上定點(diǎn)D，使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D，且D的坐標(biāo)為 ，0或 ，0.

證明：設(shè)P（x1，y1），A（-a，0），B（a，0），l：x= ，則直線AP的方程為：y= （x+a），由x= 得y= · ，所以M1 ， · ；同理得：M ， · .

假設(shè)存在點(diǎn)D（t，0），使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D？圳 ⊥ =0？圳 · =0，即： -t2+ · =0.

又P（x1，y1）在橢圓C上，所以b2x +a2y =a2b2，所以 =- .

代入上式得 -t2- · =0，解得t= 或t= .

所以，存在D ，0或D ，0，使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D.

結(jié)論2：已知雙曲線C： - =1（a>0，b>0），A，B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn). 若P是雙曲線右支上異于B的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，PB并延長(zhǎng)，分別與右準(zhǔn)線l相交于M1，M2，則存在x軸上定點(diǎn)D，使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D，且D的坐標(biāo)為 ，0或 ，0.

證明：設(shè)P（x1，y1），A（-a，0），B（a，0），l：x= ，則直線AP的方程為：y= （x+a），由x= 得y= · ，所以M1 ， · ；同理得：M2 ， · .

假設(shè)存在點(diǎn)D（t，0），使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D？圳 ⊥ =0？圳 · =0，即： -t2+ · =0.

又P（x1，y1）在雙曲線C上，所以b2x -a2y =a2b2，所以 = .

代入上式得 -t2+ · =0，解得t= 或t= . 所以，存在D ，0或D ，0，使得以M1M2為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)D.