談二次根式學(xué)習(xí)中的幾個(gè)重點(diǎn)問題

董喜源

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；二次根式；重點(diǎn)問題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代數(shù)中的重要內(nèi)容，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)當(dāng)引起我們足夠的重視.本文以近幾年的競賽題為例，談?wù)劧胃綄W(xué)習(xí)中的幾個(gè)重點(diǎn)問題.

一、算術(shù)平方根

在二次根式中，要使得根式有意義，就隱含兩層含義， 即算數(shù)平方根的雙重非負(fù)性.

1.本身非負(fù)

例1 已知實(shí)數(shù)x、y滿足■+（y+1）2=0，則x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 對于■和（y+1）2而言，兩個(gè)都是非負(fù)數(shù).

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故選A.

2.被開方數(shù)非負(fù)

例2 在函數(shù)y=■中，自變量x的取值范圍是

分析： 要使原函數(shù)有意義，需要滿足：①被開方數(shù)非負(fù)；②分式的分母不為零.兩式的公共解即為本題的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 對于■和（■）2的理解與應(yīng)用

1.■=a （a為全體實(shí)數(shù)）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，則x= .

分析： 根據(jù)■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有關(guān)根式的比較

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，遇到實(shí)數(shù)大小比較的題目比較多，但比較的方法主要?dú)w納為以下幾種：因式內(nèi)移法、作商比較法、倒數(shù)法、分母有理化、平方法、作差比較法（此法比較簡單，此處不列舉實(shí)例說明）.

作商比較法

原理：若a>0，b>0且■≥1，則a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，則a≤b.

例5 比較4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒數(shù)法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，則a≤b；

若■≤■，則a≥b.

例6 比較2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比較■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；二次根式；重點(diǎn)問題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代數(shù)中的重要內(nèi)容，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)當(dāng)引起我們足夠的重視.本文以近幾年的競賽題為例，談?wù)劧胃綄W(xué)習(xí)中的幾個(gè)重點(diǎn)問題.

一、算術(shù)平方根

在二次根式中，要使得根式有意義，就隱含兩層含義， 即算數(shù)平方根的雙重非負(fù)性.

1.本身非負(fù)

例1 已知實(shí)數(shù)x、y滿足■+（y+1）2=0，則x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 對于■和（y+1）2而言，兩個(gè)都是非負(fù)數(shù).

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故選A.

2.被開方數(shù)非負(fù)

例2 在函數(shù)y=■中，自變量x的取值范圍是

分析： 要使原函數(shù)有意義，需要滿足：①被開方數(shù)非負(fù)；②分式的分母不為零.兩式的公共解即為本題的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 對于■和（■）2的理解與應(yīng)用

1.■=a （a為全體實(shí)數(shù)）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，則x= .

分析： 根據(jù)■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有關(guān)根式的比較

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，遇到實(shí)數(shù)大小比較的題目比較多，但比較的方法主要?dú)w納為以下幾種：因式內(nèi)移法、作商比較法、倒數(shù)法、分母有理化、平方法、作差比較法（此法比較簡單，此處不列舉實(shí)例說明）.

作商比較法

原理：若a>0，b>0且■≥1，則a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，則a≤b.

例5 比較4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒數(shù)法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，則a≤b；

若■≤■，則a≥b.

例6 比較2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比較■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；二次根式；重點(diǎn)問題

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）06—0090—01

二次根式是初中代數(shù)中的重要內(nèi)容，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)當(dāng)引起我們足夠的重視.本文以近幾年的競賽題為例，談?wù)劧胃綄W(xué)習(xí)中的幾個(gè)重點(diǎn)問題.

一、算術(shù)平方根

在二次根式中，要使得根式有意義，就隱含兩層含義， 即算數(shù)平方根的雙重非負(fù)性.

1.本身非負(fù)

例1 已知實(shí)數(shù)x、y滿足■+（y+1）2=0，則x-y等于（ ）

A . 3 B.-3 C. 1 D.-1

分析： 對于■和（y+1）2而言，兩個(gè)都是非負(fù)數(shù).

即： ■≥0，（y+1）2≥0，

又∵■+（y+1）2=0，

∴■=0且（y+1）2=0，

∴x-2=0且y+1=0.

∴x=2且y=-1，∴x-y=3 故選A.

2.被開方數(shù)非負(fù)

例2 在函數(shù)y=■中，自變量x的取值范圍是

分析： 要使原函數(shù)有意義，需要滿足：①被開方數(shù)非負(fù)；②分式的分母不為零.兩式的公共解即為本題的答案.

即x-1≥0x-2≠0 解得：x≥1且x≠2.

二、 對于■和（■）2的理解與應(yīng)用

1.■=a （a為全體實(shí)數(shù)）

例3 已知-1

分析： ∵-1

∴a-b<0

∴■=a-b=-（a-b）=b-a.

2.■2=a （a≥0）.

例4 若■2=3x-2，則x= .

分析： 根據(jù)■2=a可得：

2x-1≥02x-1=3x-2 解得：x≥■，x=1.

∴x=1.

三、有關(guān)根式的比較

在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，遇到實(shí)數(shù)大小比較的題目比較多，但比較的方法主要?dú)w納為以下幾種：因式內(nèi)移法、作商比較法、倒數(shù)法、分母有理化、平方法、作差比較法（此法比較簡單，此處不列舉實(shí)例說明）.

作商比較法

原理：若a>0，b>0且■≥1，則a≥b；

若a<0，b<0且■≤1，則a≤b.

例5 比較4-■和 2+■的大小.

解： ∵■ =（4-■）（2-■）=11-6■<1，

∴4-■<2+■.

倒數(shù)法

原理：已知a>0，b>0.若■≥■，則a≤b；

若■≤■，則a≥b.

例6 比較2■-■和■-2的大小.

解： ∵■=■，■=■.

又∵■>■，

即■>■.

又∵2■-■>0，■-2>0，

∴2■-■<■-2.

分母有理化

例7 比較■和■的大小.

解： ∵■=■，

■=■.

又∵■>■，∴■>■.

編輯：謝穎麗