一個(gè)最佳常數(shù)為Beta函數(shù)的Hilbert型積分不等式

巫偉亮

( 嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 梅州 514011 )

1925年Hilbert[1]建立了著名的積分不等式

(1)

(2)

1 引理

(3)

證明對(duì)(3)式中的積分做變換u=xλ1/yλ2, 則有

注1由(3)式的計(jì)算過程，可得

(4)

(5)

(6)

由引理1及Fubini定理[10]有

因此(5)式成立.證畢.

2 主要結(jié)果及其證明

(2)為避免家族利益的糾纏，“帶頭人”必須從來自鄰村或其他村莊的候選人中選舉.本村村民不得選舉本村“帶頭人”，本村有治村能力者，可以參加其他村“帶頭人”選舉.

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將(11)式兩邊p次方，可知(8)式成立，且它與(7)式等價(jià)，證畢.

證明任意給定0<ε

(12)

由Fatou引理[10]及(12)式有

定理3在定理1所設(shè)的條件下，若把p>1改為0

(13)

注2取p=q=2,λ1=λ2=1,v1=v2=λ/2,a=λ時(shí)，由(6)式可推導(dǎo)出(2)式，故可知(6)式是(2)式的最佳推廣式.

參考文獻(xiàn)：

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