基于Box-Jenkins方法的甘肅省GDP時(shí)間序列分析建模與預(yù)測(cè)

李生彪, 彭建奎

( 蘭州文理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730000 )

在國(guó)民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行過程中，GDP是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的重要指標(biāo)，也是政府在制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略和政策時(shí)的一個(gè)重要依據(jù)；因此，對(duì)一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的GDP進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)具有非常重要的意義.20世紀(jì)70 年代，G.P.Box和G.M.Jenkins提出了ARIMA 模型法[1]，該模型是在建模之前先將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列，然后再運(yùn)用 ACF圖和PACF圖對(duì)得到的平穩(wěn)時(shí)間序列選擇最佳的ARIMA模型.由于傳統(tǒng)的灰色理論、生長(zhǎng)曲線、指數(shù)平滑法等方法只適合于具有某種典型趨勢(shì)特征變化的現(xiàn)象的預(yù)測(cè),而甘肅省在改革開放以來特別是在西部大開發(fā)以來GDP增長(zhǎng)快速，其GDP的時(shí)間序列數(shù)據(jù)并不總是滿足這種典型趨勢(shì)特征，這使得這些傳統(tǒng)模型產(chǎn)生的誤差項(xiàng)不一定完全是具有隨機(jī)性質(zhì)的,從而會(huì)影響對(duì)它的預(yù)測(cè)效果.本文利用SPSS軟件，對(duì)甘肅省GDP的年度數(shù)據(jù)進(jìn)行了時(shí)間序列分析，并基于Box-Jenkins方法建立了甘肅省GDP的時(shí)間序列ARMA模型，最后運(yùn)用該模型對(duì)未來4年甘肅省的GDP進(jìn)行了預(yù)測(cè).

1 Box-Jenkins方法簡(jiǎn)介

Box-Jenkins方法是關(guān)于時(shí)間序列分析、預(yù)測(cè)及控制的一整套方法，也稱作傳統(tǒng)的時(shí)間序列建模方法.該方法把時(shí)間序列建模分為3個(gè)階段，即模型類型識(shí)別階段、模型的參數(shù)估計(jì)階段以及基于模型的預(yù)測(cè)階段[2].在實(shí)際應(yīng)用中，Box-Jenkins方法的常見模型形式為：若時(shí)間序列值xt是現(xiàn)在干擾值εt和過去干擾值εt-i以及過去的序列值xt-i的線性組合，則稱此模型為自回歸移動(dòng)平均模型;相應(yīng)地，序列xt稱為自回歸移動(dòng)平均序列，稱

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q

(1)

2 甘肅省GDP時(shí)間序列分析建模

2.1 甘肅省GDP數(shù)據(jù)的分析

甘肅省1978—2012年的GDP數(shù)據(jù)[5]如表1所示，圖1是其時(shí)間序列的折線圖.

表1 1978—2012年甘肅省GDP 億元

圖1 1978—2012年甘肅省GDP數(shù)據(jù)時(shí)間序列的折線圖

從圖1可以看出，甘肅省的GDP在1978—1994年增長(zhǎng)緩慢，但從1995年開始呈現(xiàn)出一種指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).由此可知該時(shí)間序列是一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列.我們首先通過對(duì)甘肅省的GDP數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)并做一階差分，將其轉(zhuǎn)化為線性趨勢(shì)，使該時(shí)間序列達(dá)到平穩(wěn).取對(duì)數(shù)并做一階差分后得到的甘肅省GDP數(shù)據(jù)時(shí)間序列圖如圖2所示.由圖2可以看出，取對(duì)數(shù)并做一階差分后的甘肅省GDP數(shù)據(jù)時(shí)間序列基本達(dá)到平穩(wěn).下面對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行ACF圖和PACF圖分析，進(jìn)行模型的識(shí)別和定階，以最終找到最佳的時(shí)間序列模型.

2.2 模型的識(shí)別與定階

首先根據(jù)甘肅省GDP時(shí)間序列模型的ACF圖和PACF圖(見圖3)建立相應(yīng)的ARMA模型.從圖3可看出，PAC截尾,而AC拖尾,因此可判定對(duì)GDP數(shù)據(jù)差分后的序列適合AR模型,即原GDP數(shù)據(jù)序列適合模型ARIMA(p,1,0)，也就是說，對(duì)于原GDP數(shù)據(jù)序列而言,其可供選擇的模型有ARIMA(1,1,0)和ARIMA(2,1,0).

圖2 對(duì)數(shù)變換和一階差分后的甘肅省GDP數(shù)據(jù)時(shí)間序列圖

圖3 1978—2012年甘肅省GDP差分序列的ACF和PACF圖

下面進(jìn)行參數(shù)估計(jì).文獻(xiàn)[6-7]表明，當(dāng)最小信息準(zhǔn)則AIC和Schwarz-Bayes準(zhǔn)則SIC的值最小時(shí)，所對(duì)應(yīng)的模型為預(yù)測(cè)的最佳模型.在參數(shù)估計(jì)的過程中,同時(shí)進(jìn)行模型的殘差白噪聲檢驗(yàn).計(jì)算后的主要效果指標(biāo)值如表2所示.從表2容易看出,ARIMA(2,1,0)是甘肅省GDP序列的最佳擬合預(yù)測(cè)模型,模型中具體的系數(shù)及顯著性檢驗(yàn)的計(jì)算結(jié)果如表3所示.由表3數(shù)據(jù)可以得到如下的甘肅省GDP預(yù)測(cè)公式：

Δyt=0.357 695Δyt-1+0.357 896Δyt-2,

(2)

yt=1.357 695yt-1+0.000 202yt-2-0.357 896yt-3.

(3)

表2 GDP序列的兩種ARIMA模型的效果指標(biāo)比較表

表3 ARIMA(2,1,0)模型的系數(shù)及顯著性檢驗(yàn)表

2.3 模型的顯著性檢驗(yàn)

顯著性檢驗(yàn)就是看模型的殘差序列是否為白噪聲序列.如果是，說明模型可用來預(yù)測(cè)；否則，模型不合適于用來預(yù)測(cè).本文利用殘差序列的ACF圖和PACF圖來檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲序列，檢驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.從圖4可以看出，殘差序列近似為白噪聲序列，這說明模型(3)可以用來擬合甘肅省GDP的時(shí)間序列.

圖4 殘差序列的ACF圖和PACF圖

3 甘肅省GDP數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)和分析

利用模型(3)對(duì)甘肅省2009—2012年的GDP數(shù)值進(jìn)行計(jì)算并與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)照,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木_度，結(jié)果見表4.從表4可知，2009—2012年的實(shí)際GDP值與計(jì)算得到的GDP值之間的相對(duì)誤差均在5%以內(nèi)，預(yù)測(cè)結(jié)果比較準(zhǔn)確，由此說明模型(3)的擬合效果較好.為進(jìn)一步說明擬合的效果，利用實(shí)際值和擬合值計(jì)算出模型(3)的相關(guān)系數(shù)R2=0.992 7,由此進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型能很好地反映出實(shí)際狀況.基于此判斷，利用該模型對(duì)甘肅省2013—2016年的GDP做了預(yù)測(cè)，并得到了相應(yīng)的預(yù)測(cè)值(見表4)，其結(jié)果的精確度有待于今后與實(shí)際GDP指標(biāo)值比較后進(jìn)一步確認(rèn).

表4 預(yù)測(cè)值及與實(shí)際值的對(duì)照

4 結(jié)論與建議

本文利用SPSS軟件并選取ARIMA(2,1,0)為擬合預(yù)測(cè)模型對(duì)甘肅省GDP進(jìn)行了時(shí)間序列分析.實(shí)證分析表明，采用模型(3)預(yù)測(cè)甘肅省GDP取得了良好效果，而且比傳統(tǒng)模型更為簡(jiǎn)便.另外，本文收集的時(shí)間序列分析的數(shù)據(jù)相對(duì)較多，并且由于Box-Jenkins方法不需要對(duì)發(fā)展模式做先驗(yàn)的假設(shè),而且方法本身又可反復(fù)進(jìn)行識(shí)別和修改,因此Box-Jenkins方法非常適合各種經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列分析，尤其是短期預(yù)測(cè).如果預(yù)測(cè)時(shí)間延長(zhǎng),本方法的預(yù)測(cè)誤差會(huì)相對(duì)增大,因此本文中的模型(3)還有待進(jìn)一步改進(jìn).

參考文獻(xiàn)：

[1] 何書元.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京：北京大學(xué)出版社，2004:5-7.

[2] 張樹京.時(shí)間序列分析簡(jiǎn)明教程[M].北京:清華大學(xué)出版社，2003:27-29.

[3] 王莎莎,陳安,蘇靜,等.組合預(yù)測(cè)模型在中國(guó)GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2009,44(2):56-59.

[4] 王曉鵬,曹廣超,丁生喜,等.基于Box-Jenkins方法的青南高原降水量時(shí)間序列建模與預(yù)測(cè)[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2008，27(4):1-7.

[5] 國(guó)家統(tǒng)計(jì)局.中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒(1991—2011)[M].北京:中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社,2012:346-368.

[6] 湯巖.時(shí)間序列分析的研究與應(yīng)用[D].哈爾濱:東北農(nóng)業(yè)大學(xué)，2007.

[7] 劉宏杰.基于時(shí)間序列分析預(yù)算支出與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)系[J].商業(yè)時(shí)代，2008,32:6-7.