如何在數理方法教學中培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力
——以留數定理在傅里葉級數展開問題中的應用為例

朱愛東， 王洪福， 田蓮花， 張英俏

( 延邊大學理學院 物理系， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

數學物理方法課程的內容不僅涵蓋數學的理論和計算方法，同時也涉及物理學的相關知識，因此要教好這門課程，就要求教師要具有良好的高等數學基礎和深厚的物理功底.目前的數學物理方法教材[1-3]，按照知識結構一般分為兩大部分：復變函數論和數學物理方程.在復變函數論部分中，解析函數的級數展開、留數定理、傅里葉變換、以及拉普拉斯變換等內容各成一章，關聯性不強，因此初學這門課程的本科生在學習過程中往往局限于當前的學習內容，缺少對這門課程的系統(tǒng)性和應用性的深刻理解，難以將所學的各種方法和理論知識融合貫穿、活學活用.實際上，針對一個物理問題，建立數學模型之后，其解決的方法往往不只一種，并且在解題的過程中，可以將各種方法靈活地結合運用，使問題得以簡化.因此，教師在教學過程中如何啟發(fā)和開闊學生思路，提高學生對知識融會貫通的能力，加深學生對這門課程系統(tǒng)性和應用性的深刻認識，是教學中面臨的重要課題.針對上述問題，本文就R(cosx,sinx)三角函數有理式的傅里葉級數展開這一問題，分別給出教師通常使用的洛朗級數[4-5]和文獻中尚未報道過的留數定理兩種解法，以此拓寬學生的解題思路，提高學生對知識融會貫通、綜合運用的能力.

1 三角函數有理式R(cos x,sin x)的傅里葉級數展開

三角函數的特點是可以將x作為復數z的幅角，通過自變數代換z=ei x，當實變數x從0變到2π時，復變數z=ei x從z=1出發(fā)沿著單位圓|z|=1逆時針走一圈又回到z=1.這個特點使得在求傅里葉級數展開系數時，可將實函數的積分轉化為復變函數的回路積分，即可以利用留數定理求傅里葉級數的展開系數.下面給出這種方法的詳細過程.

首先確定這類函數的周期是2π.根據傅里葉級數展開系數的公式，半周期l=π.傅里葉級數展開公式如下：

對于函數R(cosx,sinx)，可做如下處理：

(1)

同理，可以得出

(2)

(3)

經過以上過程，即可將傅里葉級數展開問題轉化為求解析函數在單位圓內的留數問題.

除了以上方法，某些特殊情況，還可以采用級數方法.當原函數轉化為復變函數后，利用洛朗級數展開方法直接將其寫成級數形式，再利用歐拉公式就可以得到傅里葉級數的三角函數展開形式，而不必代入傅里葉級數的系數公式，避免了積分運算.這種方法也是大多數參考書上給出的方法，但其前提條件是寫成復數的洛朗級數后，必須能夠利用歐拉公式重新回到三角函數形式的傅里葉級數，所以這種方法只適用于某些特殊情況.

2 解題實例

(4)

(5)

所以

(6)

這種方法需要學生對復變函數在環(huán)域上解析以及單位圓內孤立奇點的定義有深刻的理解，解題關鍵在于將拆分出的兩個分式在單位圓內挖去奇點形成的環(huán)域上展開為冪級數，即(1)、(2)兩式,其優(yōu)點在于不用進行積分運算.

解法2留數定理法.該函數是以2π為周期的偶函數，因此可以將其展開為傅里葉余弦級數，且l=π，即

(7)

根據(1)和(2)式有

(8)

其中Res[f(z),zk]表示函數f(z)在第k個孤立奇點處的留數,

(9)

(10)

這種方法的優(yōu)點是利用了傅里葉級數展開的系數公式，方法較為直接，只是計算稍顯繁瑣.該方法的解題關鍵在于能夠將實變函數的定積分轉換為復變函數的回路積分，并利用留數定理計算出積分，從而得到傅里葉展開系數.

3 結束語

培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力是數學物理教學的重要內容，因此，教師在講解實際問題時，要引導學生拓寬思路，不拘泥于參考書已有的方法，啟發(fā)學生嘗試新的不同的解題方法，使學生達到對知識融會貫通、靈活運用的目的.

參考文獻：

[1] 梁昆淼,劉法,廖國慶.數學物理方法[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:1-375.

[2] 姚端正,梁家寶.數學物理方法[M].3版.北京：科學出版社,2010：1-340.

[3] 胡嗣柱,倪光炯.數學物理方法[M].2版.北京：高等教育出版社,2002：1-359.

[4] 斯頌樂,徐世良,高永椿,等.數學物理方法習題解答[M].天津：天津科學技術出版社,1982：145-146.

[5] 苗明川,龔云,任正.數學物理方法全程導學及習題全解[M].北京：中國時代經濟出版社,2011：75-76.