幾類二階隱式常微分方程的解法

李子萍

摘 要 本文討論了不能從 （，，，） = 0中解出的幾類二階隱式常微分方程的解法。

關鍵詞 常微分方程 二階微分方程 一階隱式方程 通解

中圖分類號：O175.1 文獻標識碼：A

Several Solutions of Second-order Ordinary Differential Equations

LI Ziping

（Lincang Teachers' College， Lincang， Yunnan 677000）

Abstract The paper discusses the Solution for some class of two order implicit ordinary differential equations that cannot be obtained from the （，，，） = 0.

Key words ordinary differential equation； two order differential equation； first order implicit equation； the general solution

對于高階常微分方程，一般沒有固定的實際解法。在二階常微分方程 （，，，）中，若能解出，則可用降階法求原方程得的通解（見文[1]），但有些方程卻不能解出。本文就四類解不出的二階隱式常微分方程進行求解。

1 形如 = （，）（a）的隱式常微分方程

令 = ，則 = = ，

從而，方程（）可化為

= （ ） （1）

兩邊對求導，得：

= （ ） + （ ）

或[（ ）] + （ ） = 0 （2）

為以為自變量，為未知函數(shù)的一階微分方程，解得（2）的通解為 = （，）或 = （，）或 （，，） = 0。

下面對這三種情況，求出原方程的通解。

（i）、若（2）的通解為 = （，），

代入（1）得： = = （，（，））

積分得： = （，（，）） + （，為任意常數(shù)）

即為原方程（a）的通解。

（ii）、若（2）的通解為 = （，），

代入方程（1）得（1）的參數(shù)形式通解為：

，其中為參數(shù)

則

= = （（， ），） = （（， ）， ）（， ）

則積分得：

= （（， ），）（， ） + = （，，）（，為任意常數(shù)） 即為原方程（a）的參數(shù)形式通解。

（iii）、若（2）的通解為 （，，） = 0，

則（1）的通解為，

∵ = = ，

∴ = = （）

積分得： = （） +

因此，（為參數(shù)；，為任意常數(shù)）

即為原方程（a）的參數(shù)形式通解。

2 形如 = （， ）（b）的隱式常微分方程

令 = ，則 = = ，

于是方程（b）化為：

= （， ） （3）

兩邊對求導得：

= （， ） + （， ） （4）

或[ （， ）] + （， ） = 0

為以為自變量，為未知函數(shù)的一階微分方程，其通解為

= （，）或 = （，）或 （，，） = 0。

下面分別在三種情形下，求原方程（b）的通解。

（i）、若（4）的通解為 = （，），

則方程（3）的通解為：

= （，（，））

即 = （，（，）≡（，）） （5）

（a）若能從（5） 中解出， = （，）

則 =（，） + ，

即為原方程（b）的通解。

（b）若從（5）中不能解出，則令 = = ，

則 = （，）

兩邊對求導，得：

1 = （，） = （，）

或 （，） = 0

其通解為

= （，，）或 = （，，）或（，，，） = 0。

于是原方程（b）的通解為： = （（，，））

或 或 （為參數(shù)；，為任意常數(shù)）

（ii）若（4）的通解為 = （，），

則方程（3）的通解為：

即

∵ =

∴ = （，） = （，）（，）

積分得： =（，）（，） +

因此，原方程（b）的參數(shù)形式通解為：

（為參數(shù)；，為任意常數(shù)）

（iii）、若（4）的通解為， （，，） = 0

則方程（3）的通解為：

（為參數(shù)；為任意常數(shù)）

即為原方程（b）的參數(shù)形式通解。

3 形如 （， ） = 0（c）的隱式常微分方程

若方程（c）可寫成參數(shù)形式：（為參數(shù)）

則由 = ，

得： = = （）（）

積分得： = （）（） + = （，）

又 = ，

則 = = （，）（）

積分得， = （，）（） + = （，，）

因此，原方程（c）的通解為：

（為參數(shù)；，為任意常數(shù)）

4 形如 （ ，） = 0（d） 的隱式常微分方程

若方程（d）可寫成參數(shù)形式（為參數(shù)）

則由 = 得： = =

積分得： = + = （，）

又∵ = ，

則 = = （）（，）

積分得： = （）（，） + = （，，）

則原方程（d）的通解為

（為參數(shù)；，為任意常數(shù)）

例：求解微分方程 = 0

解：原方程即為， =

用文中類型（b）的方法

令 = ，則 = =

方程化為： = （*）

方程兩邊對求導，得： = +

即[] =

為以為自變量，為未知函數(shù)的一階微分方程，

為便于運算，設 = ， =

則有（） =

=

兩邊積分得： =

即： =

由此得（*）的參數(shù)形式通解：

∵ = = =

=

∴ =

= [] + []

= + +

+ +

= ∣1+∣+ ∣1∣ + +

由此，原方程的通解為

（為參數(shù)；， 為任意常數(shù)）

參考文獻

[1] 王高雄，周之銘.常微分方程（第二版）[M].高教出版社，1983.

[2] 王濤.關于兩類二階隱式常微分方程的解法[J].大學數(shù)學，2003.19（4）：64-65.

[3] 胡愛蓮，官春梅.幾類階常微分方程的解法[J].喀什師范學院學報，2004.25（6）：17-18.