“銳角三角函數(shù)”課本習(xí)題拓展探究

丁銀杰

課本習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)、解題策略和思想方法的有機(jī)結(jié)合體，具有很強(qiáng)的生長(zhǎng)性，許多中考試題就是在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上通過(guò)變式、拓展演變而來(lái). 重視對(duì)課本習(xí)題的研究與應(yīng)用有著重要的價(jià)值，本文以《銳角三角函數(shù)》一章中的一道課本習(xí)題為例，對(duì)習(xí)題進(jìn)行變式探究，挖掘習(xí)題的最大價(jià)值，供讀者參考.

原題：（蘇科版教材九下第48頁(yè)習(xí)題3）已知：如圖1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊AC，且Rt△ABC已知一邊和一銳角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共邊AC=15 cm，從而Rt△ADC已知一邊和一銳角（AC=

15 cm，∠DAC=45°），進(jìn)而求出AD=

15 cm.

說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)直角三角形滿足——除直角外，已知一邊和一銳角或已知兩邊，就可以解出這個(gè)直角三角形.

變式1：已知：如圖2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊，且Rt△ABC已知兩邊（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共邊AC=5 cm，從而Rt△ADC已知一邊和一銳角（AC=5 cm，∠D=45°），進(jìn)而求出AD=5 cm.

說(shuō)明：由原題和變式1可知，當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共邊時(shí)，這條公共邊就成了聯(lián)系兩個(gè)直角三角形的橋梁，溝通著“已知”與“未知”.

變式2：已知：如圖3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊，但兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一個(gè)銳角，故不能直接解出其中任何一個(gè)三角形. 考慮到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，從而可以此為相等關(guān)系構(gòu)造方程解決這一問(wèn)題. 設(shè)AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.

變式3：已知：如圖4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面積.

【解析】本題中的△ABD顯然不是直角三角形，考慮到∠B，∠D均為特殊角，可以通過(guò)作高AC構(gòu)造直角三角形，將它們分別放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同變式2，設(shè)AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=

15-5 cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×10×

15-5=

75-25（cm2）.

說(shuō)明：由變式2、變式3可知，當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共邊，且兩個(gè)直角三角形均不能直接解出時(shí)，通常設(shè)公共邊這座橋梁為x，通過(guò)構(gòu)造方程解決問(wèn)題.

變式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面積.

【解析】如圖5，當(dāng)高AC在△ABD內(nèi)部時(shí)，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=

4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=

2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.

如圖6，當(dāng)高AC在△ABD外部時(shí)，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.

變式5：如圖7，某市在棚戶區(qū)改造工程中需要修建一段東西方向全長(zhǎng)2 000米的道路（記作線段AB）. 已知C點(diǎn)周圍700米范圍內(nèi)有一電力設(shè)施區(qū)域. 在A處測(cè)得C在A的北偏東60°方向上，在B處測(cè)得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域？為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）

【解析】本題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，需要將題中的已知信息與圖形相結(jié)合，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題. 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.

因?yàn)锽D+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.

解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不會(huì)穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域.

課本習(xí)題是教學(xué)的重要資源，同學(xué)們應(yīng)多加重視，通過(guò)變式訓(xùn)練等途徑掌握基礎(chǔ)題型及基本圖形，提升學(xué)習(xí)效率，避免低水平的重復(fù)和題海疲勞戰(zhàn)術(shù).

（作者單位：蘇州市草橋中學(xué)校）

課本習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)、解題策略和思想方法的有機(jī)結(jié)合體，具有很強(qiáng)的生長(zhǎng)性，許多中考試題就是在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上通過(guò)變式、拓展演變而來(lái). 重視對(duì)課本習(xí)題的研究與應(yīng)用有著重要的價(jià)值，本文以《銳角三角函數(shù)》一章中的一道課本習(xí)題為例，對(duì)習(xí)題進(jìn)行變式探究，挖掘習(xí)題的最大價(jià)值，供讀者參考.

原題：（蘇科版教材九下第48頁(yè)習(xí)題3）已知：如圖1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊AC，且Rt△ABC已知一邊和一銳角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共邊AC=15 cm，從而Rt△ADC已知一邊和一銳角（AC=

15 cm，∠DAC=45°），進(jìn)而求出AD=

15 cm.

說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)直角三角形滿足——除直角外，已知一邊和一銳角或已知兩邊，就可以解出這個(gè)直角三角形.

變式1：已知：如圖2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊，且Rt△ABC已知兩邊（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共邊AC=5 cm，從而Rt△ADC已知一邊和一銳角（AC=5 cm，∠D=45°），進(jìn)而求出AD=5 cm.

說(shuō)明：由原題和變式1可知，當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共邊時(shí)，這條公共邊就成了聯(lián)系兩個(gè)直角三角形的橋梁，溝通著“已知”與“未知”.

變式2：已知：如圖3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊，但兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一個(gè)銳角，故不能直接解出其中任何一個(gè)三角形. 考慮到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，從而可以此為相等關(guān)系構(gòu)造方程解決這一問(wèn)題. 設(shè)AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.

變式3：已知：如圖4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面積.

【解析】本題中的△ABD顯然不是直角三角形，考慮到∠B，∠D均為特殊角，可以通過(guò)作高AC構(gòu)造直角三角形，將它們分別放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同變式2，設(shè)AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=

15-5 cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×10×

15-5=

75-25（cm2）.

說(shuō)明：由變式2、變式3可知，當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共邊，且兩個(gè)直角三角形均不能直接解出時(shí)，通常設(shè)公共邊這座橋梁為x，通過(guò)構(gòu)造方程解決問(wèn)題.

變式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面積.

【解析】如圖5，當(dāng)高AC在△ABD內(nèi)部時(shí)，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=

4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=

2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.

如圖6，當(dāng)高AC在△ABD外部時(shí)，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.

變式5：如圖7，某市在棚戶區(qū)改造工程中需要修建一段東西方向全長(zhǎng)2 000米的道路（記作線段AB）. 已知C點(diǎn)周圍700米范圍內(nèi)有一電力設(shè)施區(qū)域. 在A處測(cè)得C在A的北偏東60°方向上，在B處測(cè)得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域？為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）

【解析】本題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，需要將題中的已知信息與圖形相結(jié)合，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題. 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.

因?yàn)锽D+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.

解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不會(huì)穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域.

課本習(xí)題是教學(xué)的重要資源，同學(xué)們應(yīng)多加重視，通過(guò)變式訓(xùn)練等途徑掌握基礎(chǔ)題型及基本圖形，提升學(xué)習(xí)效率，避免低水平的重復(fù)和題海疲勞戰(zhàn)術(shù).

（作者單位：蘇州市草橋中學(xué)校）

課本習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)、解題策略和思想方法的有機(jī)結(jié)合體，具有很強(qiáng)的生長(zhǎng)性，許多中考試題就是在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上通過(guò)變式、拓展演變而來(lái). 重視對(duì)課本習(xí)題的研究與應(yīng)用有著重要的價(jià)值，本文以《銳角三角函數(shù)》一章中的一道課本習(xí)題為例，對(duì)習(xí)題進(jìn)行變式探究，挖掘習(xí)題的最大價(jià)值，供讀者參考.

原題：（蘇科版教材九下第48頁(yè)習(xí)題3）已知：如圖1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊AC，且Rt△ABC已知一邊和一銳角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共邊AC=15 cm，從而Rt△ADC已知一邊和一銳角（AC=

15 cm，∠DAC=45°），進(jìn)而求出AD=

15 cm.

說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)直角三角形滿足——除直角外，已知一邊和一銳角或已知兩邊，就可以解出這個(gè)直角三角形.

變式1：已知：如圖2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊，且Rt△ABC已知兩邊（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共邊AC=5 cm，從而Rt△ADC已知一邊和一銳角（AC=5 cm，∠D=45°），進(jìn)而求出AD=5 cm.

說(shuō)明：由原題和變式1可知，當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共邊時(shí)，這條公共邊就成了聯(lián)系兩個(gè)直角三角形的橋梁，溝通著“已知”與“未知”.

變式2：已知：如圖3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.

【解析】本題中的兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一條公共的直角邊，但兩個(gè)直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一個(gè)銳角，故不能直接解出其中任何一個(gè)三角形. 考慮到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，從而可以此為相等關(guān)系構(gòu)造方程解決這一問(wèn)題. 設(shè)AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.

變式3：已知：如圖4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面積.

【解析】本題中的△ABD顯然不是直角三角形，考慮到∠B，∠D均為特殊角，可以通過(guò)作高AC構(gòu)造直角三角形，將它們分別放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同變式2，設(shè)AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=

15-5 cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×10×

15-5=

75-25（cm2）.

說(shuō)明：由變式2、變式3可知，當(dāng)兩個(gè)直角三角形有一條公共邊，且兩個(gè)直角三角形均不能直接解出時(shí)，通常設(shè)公共邊這座橋梁為x，通過(guò)構(gòu)造方程解決問(wèn)題.

變式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面積.

【解析】如圖5，當(dāng)高AC在△ABD內(nèi)部時(shí)，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=

4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=

2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.

如圖6，當(dāng)高AC在△ABD外部時(shí)，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面積=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.

變式5：如圖7，某市在棚戶區(qū)改造工程中需要修建一段東西方向全長(zhǎng)2 000米的道路（記作線段AB）. 已知C點(diǎn)周圍700米范圍內(nèi)有一電力設(shè)施區(qū)域. 在A處測(cè)得C在A的北偏東60°方向上，在B處測(cè)得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域？為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）

【解析】本題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，需要將題中的已知信息與圖形相結(jié)合，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題. 過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.

因?yàn)锽D+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.

解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不會(huì)穿過(guò)電力設(shè)施區(qū)域.

課本習(xí)題是教學(xué)的重要資源，同學(xué)們應(yīng)多加重視，通過(guò)變式訓(xùn)練等途徑掌握基礎(chǔ)題型及基本圖形，提升學(xué)習(xí)效率，避免低水平的重復(fù)和題海疲勞戰(zhàn)術(shù).

（作者單位：蘇州市草橋中學(xué)校）