具有多個轉(zhuǎn)向點的奇攝動二階擬線性邊值問題

許國安，余贊平

（1.華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州362021；

2.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建 福州350007）

轉(zhuǎn)向點問題是奇攝動理論的重要內(nèi)容，在量子力學(xué)、流體力學(xué)、光的傳播，以及化學(xué)反應(yīng)等物理和化學(xué)現(xiàn)象中廣泛出現(xiàn)［1-2］，許多學(xué)者對此問題做了大量工作［3-7］.然而，其中大部分工作都是在假設(shè)弱穩(wěn)定條件下完成的 .文獻(xiàn)［8］在缺乏弱穩(wěn)定的條件下考慮了具有單個轉(zhuǎn)向點的二階擬線性邊值問題，證明了解的存在性并給出了解的一致有效估計.本文研究具有多個轉(zhuǎn)向點的奇攝動二階擬線性邊值問題，在缺乏弱穩(wěn)定的條件下，證明解的存在性并給出解的一致有效估計.

1 基本假設(shè)

考慮如下邊值問題（BVP），即

對于邊值問題（1），作如下3點假設(shè).

這里δ為適當(dāng)小的正數(shù).

H2）設(shè)f（t，y），g（t，y）在D1∪D2∪D3上充分光滑.

H3）設(shè)t＝t1，t＝t2分別為邊值問題（1）的m1，m2階轉(zhuǎn)向點.這里轉(zhuǎn)向點的定義如下：

可以對轉(zhuǎn)向點的階數(shù)作如下拓廣，即｜f（t，y）｜＝O（｜t-t0｜m），t→t0.在拓廣意義下研究轉(zhuǎn)向點問題，為了描述的方便，作如下定義.

2 主要結(jié)果及證明

引理1 如果假設(shè) H1），H2）成立，且退化軌道u（t）在［a，b］中是（Ⅰq）或（Ⅱn），（Ⅲn）穩(wěn)定的，則uL（t1）＝u0（t1），uR（t2）＝u0（t2）.

證明 不妨設(shè)退化軌道是（Ⅱn）穩(wěn)定的（另兩種穩(wěn)定情形的證明類似）.

由引理1結(jié)論可知，在假設(shè)穩(wěn)定的條件下，退化解在轉(zhuǎn)向點處一定是相連的，即退化軌道是連續(xù)的.

以上討論可推廣至含有m（m＞2）個轉(zhuǎn)向點情形，并可得到類似的結(jié)論.

［1］ NAYFEH A H.Perturbation methods［M］.New York：Wiley，1973：120-200.

［2］ O＇MALLEY R E.Introduction to singular perturbations［M］.New York：Academic Press，1974：1-45.

［3］ 余贊平.一類具有高階轉(zhuǎn)向點的二次問題的奇攝動［J］.數(shù)學(xué)研究，2005，38（2）：180-183.

［4］ 蔡建平，林宗池.具有轉(zhuǎn)向點的三階半線性奇攝動邊值問題解的存在性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1993，14（12）：1035-1039.

［5］ 吳欽寬，張祥.具有轉(zhuǎn)向點的奇攝動非線性邊值問題解的一致有效估計［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，1995，8（2）：231-238.

［6］ 余贊平，肖蓬.一類具有轉(zhuǎn)向點的邊值問題的奇攝動［J］.福建師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2004，20（4）：6-8.

［7］ 章國華，侯斯 F A.非線性奇異攝動現(xiàn)象：理論和應(yīng)用［M］.福州：福建科學(xué)技術(shù)出版社，1989：6-15，28-31.

［8］ 許國安，余贊平.具有轉(zhuǎn)向點的奇攝動二階擬線性邊值問題［J］.華僑大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，31（3）：346-350.