備好高中函數(shù)解題鑰匙：化歸思想

毛芹

【內(nèi)容摘要】函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著非常重要的作用，是學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。在函數(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重學(xué)生分析能力的培養(yǎng)并加強(qiáng)解題思路的引導(dǎo)，其中化歸思想在函數(shù)教學(xué)中有著很重要的作用。化歸思想即是把一個(gè)比較復(fù)雜的問題通過一定的方法，將其轉(zhuǎn)化為我們能夠解決的簡(jiǎn)單問題，進(jìn)而解決原有問題的解題方法。在函數(shù)教學(xué)的過程中，教師可以有意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，使學(xué)生在解題的過程中思路更加清晰，提高解題速度。

【關(guān)鍵詞】高中函數(shù) 化歸思想 解題研究

引言

在對(duì)學(xué)生進(jìn)行化歸思想教育的過程中，要注意化歸思想的幾個(gè)主要原則，首先是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題。其次把有難度的問題轉(zhuǎn)化為基礎(chǔ)的問題，把抽象的問題具體化、特殊化。另外，還要注意理論與實(shí)際相結(jié)合，教師還要在解題的過程中，不斷的深化化歸思想，使學(xué)生能夠熟練的掌握和應(yīng)用。

一、化歸思想方法的類型

化歸思想簡(jiǎn)單的理解就是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)，主要包括三個(gè)基本的要素：化歸的對(duì)象、化歸的途徑以及化歸的目標(biāo)。轉(zhuǎn)化主要包括等價(jià)的轉(zhuǎn)化和非等價(jià)的轉(zhuǎn)化，其中通過等價(jià)轉(zhuǎn)化而得到的問題與原問題在本質(zhì)上是相同的，而非等價(jià)轉(zhuǎn)化得來的問題與原問題的本質(zhì)不相同，必須對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)并加以補(bǔ)充與修改，才能確定轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。化歸思想主要有以下幾種

1.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

在函數(shù)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是常用的解題方法之一，函數(shù)的解析式可以用函數(shù)的圖像清晰的表示，而且函數(shù)的圖像也可以借助函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行表達(dá)，在解題的過程中可以通過數(shù)與形的相互聯(lián)系和統(tǒng)一，使學(xué)生獲得準(zhǔn)確而簡(jiǎn)單的答案。

例：已知∣x∣=ax+1方程式中有一個(gè)負(fù)根，而且沒有正根，求出a的取值范圍。

根據(jù)分析，可以將方程的兩邊看作是兩個(gè)函數(shù)，然后分別作出函數(shù)圖像。

L1：y=∣x∣；L2：y=ax+1。等式中L2是通過（0，1）的直線，如果要使x的取值為負(fù)的，則需要a≥1。

2.映射的化歸

（1）高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念有很強(qiáng)的抽象性與概括性，其本質(zhì)是一種映射關(guān)系。在教學(xué)的的過程中，教師傾向于通過舉例來講解函數(shù)的概念，導(dǎo)致學(xué)生沒有從本質(zhì)理解函數(shù)的概念，只是大概的了解函數(shù)的概念和例子。在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，教師可以將抽象的函數(shù)概念化歸成簡(jiǎn)單的形式，以便于學(xué)生的理解和記憶。例如：滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）的函數(shù)模型為三角函數(shù)，滿足f（x）·f（y）=f（xy）的函數(shù)模型為冪函數(shù)，另外滿足f（x+y）=f（x） ·f（y）的函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)，這些等價(jià)關(guān)系之間的化歸在函數(shù)解題過程中有著重要的作用。

（2）在計(jì)算函數(shù)問題的過程中，我們可以將其轉(zhuǎn)化為具體數(shù)值，通過對(duì)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算找到解題的思路與方法，這就是函數(shù)問題中經(jīng)常用到的“賦值法”。例如：已知偶函數(shù)g（x）在零到正無窮上是增函數(shù)，那么g（x）>g（1）的解集是？對(duì)于這個(gè)問題，教師舉一個(gè)具體的函數(shù)g（x） =x2的例子即可以向?qū)W生說明。

3.一般與特殊的轉(zhuǎn)化

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，一般與特殊的情況可以進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化。有些數(shù)學(xué)問題通過一般的方法比較復(fù)雜，但是如果根據(jù)特殊情形進(jìn)行思考則可以獲得比較簡(jiǎn)單的解題思路。另外，特殊情況下得到的結(jié)論通過總結(jié)與歸納也可以推廣到一般的情形。例如：如果（3x+1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4+a5x5，求a0+a2+a4的值。首先分析，這個(gè)題目運(yùn)用一般的思路比較復(fù)雜也不容易得出答案，那么就可以考慮運(yùn)用特殊值的方法進(jìn)行解題。

令x=1，則可以得出a0+a1+a2+a3+ a4+a5=4

令x=-1，可以得出a0-a1+a2-a3+a4-a5=32相加得2（a0+a2+a4）=36，得出結(jié)果a0+a2+a4=18

這種方法不僅簡(jiǎn)單那便捷，而且可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與思考的熱情，使其更愿意主動(dòng)的發(fā)現(xiàn)的新的解題方法，以此來提高學(xué)生的解題能力。

4.正面與反面的轉(zhuǎn)化

解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們可以從不同的角度進(jìn)行思考與分析，有的問題從正面解決比較容易，而有的問題則需從反面入手。根據(jù)實(shí)際情況，從正確的角度來解決問題。在解決概率問題的過程中，我們可以運(yùn)用到正面與反面的轉(zhuǎn)化。例如某射擊選手每次擊中目標(biāo)的概率為0.7，連續(xù)射擊8次，并且每次的射擊都是獨(dú)立、互不影響的。那么這個(gè)射擊選手至少擊中一次目標(biāo)的概率為多少？

首先我們考慮從正面對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行解答，這就需要我們把8種情況進(jìn)行逐一分析。那么就要考慮在射擊的過程中恰好擊中一次、兩次、三次、四次、五次、六次、七次、八次的情況，這個(gè)過程分析起來就比較的復(fù)雜，所以我們可以忽略這種方法，從反面進(jìn)行著手，來分析對(duì)立事件的概率，即射擊選手八次均未擊中目標(biāo)的情況。把八次均為擊中目標(biāo)的概率記為p8（0），那么p8（0）=C80（0.7）0 （1-0.7）8那么射擊選手至少擊中一次目標(biāo)的概率為1-p8（0）。這種方法避免了繁瑣的分析過程，不僅減少了運(yùn)算過程中的錯(cuò)誤率而且使問題的解決更加的快速。在考試的過程中，學(xué)生如果能夠熟練的運(yùn)用。

二、化歸思想的重要性

1.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，化歸思想可以起到很好的融合作用，并使學(xué)生循序漸進(jìn)的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。例如在平面幾何的教學(xué)中，我們可以多次使用化歸的思想，使學(xué)生清楚的了解到復(fù)雜的幾何圖形都是由簡(jiǎn)單的圖形組合而成的，幫助學(xué)生理清思路。另外在鈍角三角函數(shù)中，將鈍角轉(zhuǎn)化為銳角進(jìn)行來解決問題。通過這種方法，可以加深學(xué)生對(duì)化歸思想的理解。

2.化歸思想不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力。在解題的過程中，學(xué)生不僅可以回顧已學(xué)過的知識(shí)，而且可以使用不同的方法進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換。在高中的函數(shù)教學(xué)中，化歸思想就是將各個(gè)函數(shù)溝通起來的橋梁，它可以把函數(shù)知識(shí)與解題模式充分的結(jié)合起來，從而提高學(xué)生的解題能力。

小結(jié)

化歸思想在高中函數(shù)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在解題的過程中，化歸思想可以把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將一些比較復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。在培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的基礎(chǔ)上，提高學(xué)生的解題能力。

（作者單位：江蘇省江安高級(jí)中學(xué)）