涉及重整化變換的有理函數(shù)族的Fatou集

高軍楊，馬慶文

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院，北京100083)

0 引言與主要結(jié)論

平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)的主要任務(wù)是解釋相與相變的本質(zhì)［1］.統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的 Yang-Lee 理論［2-3］把自由能量拓廣為復(fù)溫度的函數(shù)，繼而把物理相位的概念描述為它的解析區(qū)域.這些區(qū)域的邊界是自由能量的奇點(diǎn).因此，研究自由能量的奇點(diǎn)在復(fù)平面上的分布以及整體結(jié)構(gòu)就成為一個(gè)重要的問題.然而，自Yang-Lee理論提出以來，這些區(qū)域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)很少為人們所了解.考慮類金剛石型等級(jí)晶格上λ-態(tài)Potts模型，文獻(xiàn)［4-5］證明了其配分函數(shù)零點(diǎn)的極限集合就是經(jīng)過重整化變換后的有理映照族Tnλ的Julia集 J(Tnλ).這里

其中n＞1是同所考慮的類金剛石型等級(jí)晶格的分叉度相關(guān)聯(lián)的自然數(shù)，J(Tnλ)是Tnλ的斥性周期點(diǎn)集的閉包，F(xiàn)atou集F(Tnλ)即為復(fù)球面上 J(Tnλ)的余集.因此，對重整化變換J(Tnλ)的Fatou集和Julia集的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行研究，不僅在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)中有重要的理論意義，而且對統(tǒng)計(jì)力學(xué)也有重要的應(yīng)用價(jià)值.首先，稱單連通區(qū)域G是John區(qū)域是指:存在常數(shù)M1＞ 0，使得?a，b∈?G且直線段［a，b］?G，滿足

定理1Tnλ(z)如(1)式定義，則有如下結(jié)論:

(i)若 λ ∈ R{αn，βn}，則 Tnλ的每個(gè) Fatou分支都是John區(qū)域;

(ii)若λ= αn，則Tnλ存在拋物不變域Lαn(q)，其任意的逆象分支都是 John區(qū)域，但Tnαn其它的Fatou分支都不是John區(qū)域;

(iii)若 λ= βn，則當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，Tnβn的每個(gè)Fatou分支都是John區(qū)域;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，除了超吸性不變域Aβn(∞)及其任意的逆象分支(k=1，2，…)不是 John 區(qū)域外，Tnβn的其它 Fatou分支都是John區(qū)域.

1 預(yù)備知識(shí)

對于涉及上述定義的經(jīng)典復(fù)動(dòng)力學(xué)結(jié)論，可參見文獻(xiàn)［7-9］.

由于學(xué)生之間存在差異性和多樣性，在學(xué)習(xí)過程中，每個(gè)學(xué)生具有其特有的意義構(gòu)建過程。所以，教師不僅要對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行管理，更重要的是必須對不同學(xué)生進(jìn)行不同的學(xué)習(xí)引導(dǎo)，啟發(fā)每位學(xué)生的創(chuàng)新思維。作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，教師在執(zhí)行角色時(shí)的行為特征表現(xiàn)在：在審閱每位學(xué)生介紹材料的基礎(chǔ)上，提出問題，組織學(xué)生進(jìn)行思考和討論，在討論中引導(dǎo)學(xué)生，啟發(fā)誘導(dǎo)他們自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，同時(shí)對自身錯(cuò)誤或片面的認(rèn)識(shí)進(jìn)行糾正或補(bǔ)充，從而加深學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的理解；盡量給每位學(xué)生同等參與討論的機(jī)會(huì)，經(jīng)常了解學(xué)生的意見，隨時(shí)修正自己在期望值上的偏差。最重要的是，相信每位學(xué)生都有學(xué)習(xí)的潛力，給每位學(xué)生創(chuàng)新的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生不斷地向目標(biāo)邁進(jìn)。

定義2［5］若α∈J(f)，如果?p(＜∞)對互不相同的光滑弧它們僅在處相交，γj與在α點(diǎn)相切，而當(dāng)i≠ j時(shí)，γj與在α點(diǎn)不相切.當(dāng)δ＞ 0 充分小時(shí)，把Δδ(α)(γj∪)較小的那個(gè)分支記為Lj(δ)，稱之為γj和的尖角域.如果δ充分小，

則稱α為具有p個(gè)花瓣的花核點(diǎn)，僅有1個(gè)花瓣的花核點(diǎn)就是Julia集J(f)的1個(gè)尖點(diǎn).這里，Δδ(α)=

引理1 若f是臨界非回歸的有理函數(shù)，則Λ(f)≠Λ0(f)當(dāng)且僅當(dāng)J(f)為圓周、圓弧或者有限條互不交解析弧上的Cantor集.

引理2［10］若f是半雙曲的有理映照，則f的每個(gè)Fatou分支都是John區(qū)域.

2 定理的證明

為證明定理1，先證明下面的2個(gè)引理.

引理3 若 λ= αn，則 Tnαn存在拋物不變域Lαn(q)，其任意的逆象分支都是John區(qū)域，但Tnαn的其它Fatou分支都不是John區(qū)域.

證(i)注意到α2=0且T20(z)=(z+1)2/4，T'20(z)=(z+1)/2，T20僅有1個(gè)有限的臨界點(diǎn)z=-1.顯然，z=1是T20的拋物不動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)x∈［-1，1)時(shí)，0≤T20(x)＜T20(1)=1.另一方面，?x∈［0，1)有T20(x)＞ x，并且當(dāng)k→+∞ 時(shí)1.因此，［-1，1)?F(T20).記拋物不動(dòng)點(diǎn)z=1的直接拋物域?yàn)長0(1).因?yàn)門20-1(0)={-1}?L0(1).所以L0(1)是F(T20)的完全不變域.易見F(T20)由2個(gè)完全不變域L0(1)和A0(∞)組成.因此，拋物不動(dòng)點(diǎn)1處僅有1個(gè)拋物吸性花瓣.由Leau-Fatou花瓣定理知，拋物完全不變域L0(1)在拋物不動(dòng)點(diǎn)1處與實(shí)軸R的夾角是2π.即z=1是拋物完全不變域L0(1)的內(nèi)部尖點(diǎn)，從而L0(1)是John區(qū)域.因此z=1是?A0(∞)的外部尖點(diǎn)，故A0(∞)不是John區(qū)域.顯然，引理3的結(jié)論成立.

(ii)當(dāng)n(＞2)為偶數(shù)時(shí)，由文獻(xiàn)［5］中的命題6.2知，Tnαn僅有3個(gè)實(shí)不動(dòng)點(diǎn)q1，1，q2(0＜ q1＜ 1＜q2).由文獻(xiàn)［5］中定理6.16的證明知，Aαn(∞)是單連通完全不變域，故Tnαn的每個(gè)Fatou分支都是單連通區(qū)域.易見［1-λ/2，+∞)?Aαn(∞)，并且當(dāng)，因此q1是吸性或拋物不動(dòng)點(diǎn).易證Tnαn在(q1，1)上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的且Tnαn(x)＞x，注意到z=1是吸性不動(dòng)點(diǎn)，從而(q1，1］?Aλ(1).這說明q1是拋物不動(dòng)點(diǎn)并且在q1處僅有1個(gè)拋物吸性花瓣.由于Aαn(∞)包含3個(gè)臨界點(diǎn)1-λ/2，1-λ，∞，臨界點(diǎn)收斂于拋物不動(dòng)點(diǎn)q1，1 ∈Aλ(1)，故F(Tnαn)僅有3個(gè)周期域Aαn(1)，Aαn(∞)和 Lαn(q1).

由定義2可知，拋物不動(dòng)點(diǎn)q1是Julia集J(Tnαn)上的尖點(diǎn).再由Leau-Fatou花瓣定理知，拋物不變域Lλ(q1)在q1處與實(shí)軸R的夾角是2π.因此，q1是拋物不變域Lαn(q1)的內(nèi)部尖點(diǎn).由引理1知，q1的所有逆象點(diǎn)也是 J(Tnαn)上的尖點(diǎn).易見Tnβn的臨界點(diǎn)都在Fatou集F(Tnαn)中.既然Tnαn在q1的每1個(gè)逆象點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)是共形的，所以都是內(nèi)部尖點(diǎn).因此，Lαn(q1)是 John區(qū)域.由 Riemann-Hurwitz公式

(iii)當(dāng)n(＞2)為奇數(shù)時(shí)，完全類似于n為偶數(shù)的情況，可證 F(Tnαn)僅有3個(gè)周期域Aαn(1)，Aαn(∞)和Lαn(q2)，其中拋物不變域Lαn(q2)及其逆象分支都是John區(qū)域，但Aαn(1)和Aαn(∞)及它們的逆象分支都不是John區(qū)域.引理3得證.

引理4 若λ= βn'，則

(i)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tnβn的每個(gè)Fatou分支都是John區(qū)域;

(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tnβn的每個(gè)Fatou分支都是John區(qū)域，除了超吸性不變域Aβn(∞)及其任意的逆象分支都不是 John 區(qū)域.

證(i)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由文獻(xiàn)［5］中定理6.16的證明知，Tnβn僅有3 個(gè)實(shí)不動(dòng)點(diǎn) q1，1，q2(0＜ q1＜1＜q2)，且q1是拋物不動(dòng)點(diǎn)與拋物不變域Lβn(q1)單連通完全不變域.注意到Lαn(q1)，則 F(Tnβn)僅 有 3 個(gè) 周 期 域Aβn(1)，Aβn(∞)和 Lβn(q1).易見(q*12，q2)?Aβn(1)，這里，是斥性不動(dòng)點(diǎn)q在區(qū)間(1-λ/2，1)的1個(gè)逆2像，并且?Aβn(∞)，這里是斥性不動(dòng)點(diǎn)q2在區(qū)間(-∞，1-λ)的1個(gè)逆像.由文獻(xiàn)［5］中的定理8.22的結(jié)論(也可以見文獻(xiàn)［11］)，易見Aβn(1)，Aβn(∞)都是Jordan區(qū)域并且它們都關(guān)于實(shí)軸R對稱.所以?Aβn(1)R∪{∞}.所以，q1和它的任意逆象點(diǎn)(k=1，2，…)都不在 ?Aβn(1)和 ?Aβn(∞)上.

顯然，Tnβn是臨界非回歸的有理函數(shù)，并且J(Tnβn)= ?Lβn(q1).易證在拋物不動(dòng)點(diǎn) q1處僅有1個(gè)拋物吸性花瓣.由引理1知，拋物不動(dòng)點(diǎn)q1和它的逆象點(diǎn)都是 Julia集 J(Tnβn)上的尖點(diǎn)，考慮到F(Tnβn) 僅 有 3 個(gè) 周 期 域Aβn(1)，Aβn(∞) 和Lβn(q1)，從而除了拋物不動(dòng)點(diǎn)q1和它的所有逆象點(diǎn)之外，J(Tnβn)上不再存在其它的尖點(diǎn).再由Leau-Fatou花瓣定理知，拋物完全不變域Lβn(q1)在q1處與實(shí)軸R的夾角是2π.因此，q1是拋物完全不變域Lβn(q1)的內(nèi)部尖點(diǎn).完全類似于引理3的討論，能夠得到q1的所有逆象點(diǎn)…)也是 J(Tnβn)上的內(nèi)部尖點(diǎn).因此，Lβn(q1)是John區(qū)域.由于 q1和它的所有逆象點(diǎn)都不在?Aβn(1)和 ?Aβn(∞)上，所以Aβn(1)和Aβn(∞)都是John區(qū)域.顯然q1和它的所有逆象點(diǎn)都不在Aβn(1)和Aβn(∞)的逆象分支與上.因此，這些逆象分支也都是John區(qū)域.所以當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，Tnβn的每個(gè)Fatou分支都是John區(qū)域.

(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由文獻(xiàn)［5］中定理6.16的證明知，Tnβn僅有 3 個(gè)實(shí)不動(dòng)點(diǎn) q1，1，q2(q1＜ -1，q2＞ 1)且q1是拋物不動(dòng)點(diǎn).(q1，1-λ］?Lβn(q1)，［1-λ/2，+∞］∩Lβn(q1)= ?并且F(Tnβn)僅有3 個(gè)單連通的周期域Aβn(1)，Aβn(∞)和 Lβn(q1).易見(-∞，q1)∪(q2，+∞)?Aβn(∞)，q2是斥性不動(dòng)點(diǎn)，則q1∈?Aβn(∞)，從而在拋物不動(dòng)點(diǎn)q1處僅有1個(gè)拋物花瓣.易證Tnβn在(1-λ/2，1)上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的且 Tnβn(x)＞ x，Tnβn在(1，q2)上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，且注意到z=1是吸性不動(dòng)點(diǎn)，因此，其中是q2在區(qū)間(1-λ/2，1)內(nèi)的逆象，由文獻(xiàn)［5］中的定理8.22的結(jié)論知道，Tnβn的每個(gè)Fatou分支都是Jordan區(qū)域，并且它們都關(guān)于實(shí)軸R對稱.故q2}，所以，q1和它的所有逆象都不在?Aβn(1)上.

顯然，Tnβn是臨界非回歸的有理函數(shù)，并且J(Tnβn)顯然不是圓周、圓弧或者有限條互不交解析弧上的Cantor集，由定義2與引理1知，拋物不動(dòng)點(diǎn)q1和它的所有逆象點(diǎn)都是J(Tnβn)上的尖點(diǎn)，考慮到F(Tnβn) 僅 有 3 個(gè) 周 期 域Aβn(1)，Aβn(∞) 和Lβn(q1).因此，除了拋物不動(dòng)點(diǎn)q1和它的所有逆象點(diǎn)之外，J(Tnβn)上不再有其它的尖點(diǎn).再由Leau-Fatou花瓣定理知，拋物不變域Lβn(q1)在q1處與實(shí)軸 R的夾角是2π.因此，q1是拋物不變域Lβn(q1)的內(nèi)部尖點(diǎn).既然Tnβn在q1的充分小的鄰域內(nèi)是共形的，則q1的所有逆象點(diǎn)也是Lβn(q1)的內(nèi)部尖點(diǎn).因此，Lβn(q1)是John區(qū)域.完全類似于(2)式的討論，能夠推出 Lβn(q1)的所有逆像分支都是 John 區(qū)域.因?yàn)?q和它1的逆象都不在 ?Aβn(1)上.所以，?Aβn(1)上沒有任何尖點(diǎn).因此，Aβn(1)是 John區(qū)域.顯然，q1和它的逆象都不在Aβn(1)的逆象分支上，故這些逆象分支也都是 John區(qū)域.因?yàn)?q1∈ ?Aβn(∞)，故 q1是Aβn(∞)的外部尖點(diǎn).由于John區(qū)域沒有外部尖點(diǎn)，所以Aβn(∞)不是John區(qū)域.既然q1的逆象點(diǎn)都是J(Tnβn)上的尖點(diǎn)，所以Aβn(∞)的逆象分支都不是John區(qū)域.引理4得證.

定理1的證明 從文獻(xiàn)［5］的定理7.22知道，當(dāng)n為偶數(shù)或者n=3，且λ∈R{αn，βn}，或者n ＞3 為奇數(shù)且λ∈R{(1，2)，αn，βn}時(shí)，Tnλ都是次雙曲的.因此也是半雙曲的，由引理2知，Tnλ的每個(gè)Fatou分支都是John區(qū)域.下面討論當(dāng)n＞3為奇數(shù)且 λ∈(1，2)時(shí)的情形.

注意到在這種情形下，Tnλ除了包含2個(gè)吸性不變域Aλ(1)和Aλ(∞)外，至多包含另1個(gè)周期循環(huán)域.由于 Tnλ是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)，故 Tnλ沒有cremer點(diǎn)，siegel盤與Herman環(huán).若其僅包含2個(gè)吸性不變域，由引理3與引理4的討論知，它們及其所有的逆像都是John域.

若 Tnλ包含1 個(gè)周期循環(huán)域{U1，U2，…，Uk}，易見實(shí)臨界點(diǎn)1-λ必包含在循環(huán){U1，U2，…，Uk}之中.如果{U1，U2，…，Uk}是超吸性循環(huán)域或吸性循環(huán)域，易證Tnλ是半雙曲有理函數(shù).由引理2，Tnλ的每個(gè)Fatou分支都是 John區(qū)域.如果{U1，U2，…，Uk}是拋物循環(huán)域，斷定這些拋物周期點(diǎn)及它們的逆像點(diǎn)都不在 ?Aλ(1)與 ?Aλ(∞)上.事實(shí)上，既然Tnλ的每個(gè)Fatou分支都是Jordan區(qū)域(見文獻(xiàn)［5］定理8.11)，且Tnλ是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)，因此?Aλ(1)與?Aλ(∞)與實(shí)軸R僅有2個(gè)交點(diǎn).易見此時(shí)有斥性不動(dòng)點(diǎn)q∈(1，+∞)且q∈?Aλ(1)與q∈?Aλ(∞)，易證?q1∈(1-λ/2，1)與q2∈(-∞，0)使得(q1，q)?Aλ(1)與(-∞，q2)?Aλ(∞)，故q1∈?Aλ(1)與q2∈?Aλ(∞).所以?Aλ(1)與?Aλ(∞)不包含拋物循環(huán)域上的拋物周期點(diǎn).進(jìn)一步地，?Aλ(1)與?Aλ(∞)也不包含尖點(diǎn)與它們的逆像點(diǎn).既然Tnλ是實(shí)系數(shù)的有理函數(shù)，易證Tnλ是臨界非回歸的有理函數(shù).由引理 1，?Aλ(1)與 ?Aλ(∞)沒有另外的尖點(diǎn)，故Aλ(1)與Aλ(∞)都是John區(qū)域.顯然，它們的任何逆像Fatou也都是John區(qū)域.當(dāng)這些拋物周期點(diǎn)不是 J(Tnλ)的尖點(diǎn)時(shí)，易見Aλ(1)與Aλ(∞)以及它們的任何逆像Fatou都是John區(qū)域.當(dāng)這些拋物周期點(diǎn)是J(Tnλ)的尖點(diǎn)時(shí)，由引理3或引理4的討論知，每1個(gè){Ui(i=1，2，…，k)}及它們的任何逆像Fatou都不是John區(qū)域.

結(jié)合引理3與引理4，完成了定理1的證明.

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