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    一類高階線性微分方程解在角域上的增長性

    2014-01-21 03:09:48楊碧瓏易才鳳
    關(guān)鍵詞:角域亞純江西師范大學(xué)

    楊碧瓏,易才鳳

    (江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,江西南昌330022)

    0 引言與結(jié)果

    本文使用Nevanlinna值分布理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)[1-2],以 T(r,f)記亞純函數(shù)f(z)的特征函數(shù),N(r,f=a)表示函數(shù)f(z)的a值點(diǎn)的密值量,ρ(f)和μ(f)分別表示f(z)的級(jí)與下級(jí),用δ(a,f)表示函數(shù)f(z)在點(diǎn)a的虧量等.

    關(guān)于亞純系數(shù)高階線性微分方程

    非零解在全平面上的增長性已有很多研究,本文主要討論此類方程的解在某些角域上的增長性.

    論文的證明需要用到角域上特征函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)[3-4].

    假設(shè)f(z)是角域Ω(α,β)上的亞純函數(shù),其中

    亞純函數(shù)f(z)在角域Ω(α,β)上的增長級(jí)和下級(jí)依次定義為

    下面定義角域上的Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)[5],令

    定義

    并運(yùn)用Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)定義了f(z)在角域Ω(α,β)上的級(jí)和下級(jí):

    然而這2種不同定義的增長級(jí)存在一定的聯(lián)系,根據(jù)文獻(xiàn)[6]中證明的不等式

    其中 Ω= Ω(α,β),ω= π(β - α),容易知道,若則σαβ(f)<∞.若{αj,βj}(j=1,2,…,q)為 q 組實(shí)數(shù),滿足

    定理A[7]設(shè)A0(z)于開平面亞純,具有非零的增長級(jí)ρ(0<ρ≤∞),其下級(jí)μ=μ(A0)<∞,在∞的虧量δ= δ(∞,A0)> 0.{αj,βj}(j=1,2,…,q)為滿足(3)式的 q組實(shí)數(shù),并且,其中σ > 0,μ≤σ≤ρ.若A(z)(j=j1,2,…,k)于開平面亞純且 T(r,Aj)=o(T(r,A0)),則方程

    的每1個(gè)非零解f(z)有σX(f)=+∞,其中αj≤argz≤βj}.

    自然會(huì)問:當(dāng)A0(z)為具有有限虧值的亞純函數(shù)時(shí),方程(1)是否也有相同的結(jié)論?下面的定理回答了上述問題.

    定理1 設(shè)A0(z)為ρ=ρ(A0)級(jí)亞純函數(shù),其下級(jí)μ=μ(A0)<∞,極點(diǎn)收斂指數(shù)λ=λ(1/A0)<ρ,存 在 有 限 虧 值 a,δ= δ(a,A0) > 0.{αj,βj}(j=1,2,…,q)為滿足(3)式的 q組實(shí)數(shù),令ω=max{π/(β1-α1),…,π/(βq-αq)},且ω<ρ,,其中 σ> 0,max{ω,μ,λ}< σ≤ρ.若Aj(z)(j=1,2,…,k-1)于開平面亞純且ρ(Aj)=0,則方程

    1 引理

    為了證明定理,還需要下面的相關(guān)記號(hào)和引理.

    引理1[8]設(shè)f(z)為角域上的有限ρ級(jí)亞純函數(shù),令 Γ={(n1,m1),(n2,m2),…,(nj,mj)}表示滿足ni>mi≥0(i=1,2,…,j)的不同整數(shù)對(duì)的有限集合,設(shè)ε>0及δ>0為給定的正常數(shù),則存在只與f,ε,δ有關(guān)的常數(shù)k>0,使得

    對(duì)所有(n,m)∈Γ 成立,其中z=reiφ∈Ω(α +δ,β-δ)且z?D,D為由半徑之和為有限的可數(shù)個(gè)圓盤構(gòu)成的R-集,其中kδ=π/(β-α-2δ).

    引理2[6,9]設(shè)f(z)為開平面上的超越亞純函數(shù),下級(jí)μ和級(jí)ρ分別滿足μ<∞ 和0<ρ≤∞,則對(duì)任意滿足μ≤σ≤ρ的正數(shù)σ和1個(gè)線性測(cè)度為有限的集合E,存在1個(gè)正數(shù)序列{rn}滿足以下條件:

    (iii)T(t,f)≤(1+o(1))(2t/rn)σT(rn/2,f),t∈[rn/n,nrn],并稱滿足上述條件的序列{rn}為f(z)在除集E外的σ級(jí)Pólya峰序列.

    設(shè)f(z)為開平面上的亞純函數(shù),a為復(fù)常數(shù),令

    引理3[10]設(shè)f(z)為開平面上的超越亞純函數(shù),下級(jí)μ和級(jí)ρ分別滿足μ<∞ 和0<ρ≤∞,若f(z)具有虧值a∈c^=c∪{∞},δ= δ(a,f)>0,則對(duì)f(z)的任一σ(μ≤σ≤ρ)級(jí)Pólya峰序列{rn}有

    引理4[11]設(shè)f(z)為開平面上的亞純函數(shù),Ω(α,β)為開平面上的任一角域,0<β-α≤2π,則對(duì)任意復(fù)數(shù)a≠∞,有Sαβ(r,1/(f-a))=Sαβ(r,f)+ε(r,a),其中 ε(r,a)= Ο(1)(r→∞).

    引理5[12]設(shè)f(z)為開平面上的亞純函數(shù),當(dāng)f(0)≠∞時(shí),

    當(dāng)f(0)=∞時(shí),

    其中C-m表示f(z)在z=0點(diǎn)鄰域內(nèi)展式中的首項(xiàng)非零系數(shù).

    2 定理的證明

    由方程(1)有

    (i)若max{ω,μ,λ}<σ<ρ.

    由引理1可知,對(duì)上述ε和對(duì)給定的ε0>0以及充分大的N,對(duì)每個(gè)j存在ηj滿足

    和只與 f,ε0,ηj有關(guān)的常數(shù) h > 0,使得當(dāng) z=reiφ∈Ω(αj+ηj,βj-ηj),z? D 時(shí),對(duì)所以的(n,m)∈ Γ有

    其中kδ= π/(βj-αj-2ηj),D為引理1給出的R-集.

    特別地,當(dāng)z=reiφ∈Ω(αj+2ηj,βj-2ηj)時(shí)上式成立,且φ-αj-ηj>ηj>0,此時(shí)l(l為某一常數(shù)),所以當(dāng)z=reiφ∈Ω(αj+2ηj,βj-2ηj),z?D時(shí),?M > 0,不依賴z,使得

    對(duì)A0(z)應(yīng)用引理2,?σ+2ε級(jí)Pólya峰序列{rn},使

    其中rn?F.

    由引理3,對(duì)充分大的n有

    但由0<δ<1,1/2≤ω<σ可知,

    則可得

    不妨設(shè)對(duì)所有n都成立,若不然只須取其子列代替.當(dāng)n充分大時(shí),有

    令 Dn=(αj0+ ε,βj0- ε)D'(rn),En=D(rn,a)∩ Dn,由 D(rn,a)的定義可知

    又設(shè) B1:argz= αj0+ ε',B2:argz= βj0- ε'為由原點(diǎn)發(fā)出的2條半直線,當(dāng)rn充分大時(shí),取ε'∈(ε/3,2ε/3)使得B1,B2只與 D 中的有限個(gè)圓盤相交,令B2∩D},則measM1<+∞,measM2<+∞.

    由 Bαβ(r,f)的定義可得

    即得

    其中ωj0= π(βj0-αj0-2ε').

    又由引理4可得

    由rn?F及B1,B2只與D中的有限個(gè)圓盤相交可得

    又由于

    由(5)式,令 z=rei(αj0+ε'),當(dāng) r∈[1,rn]M1時(shí),有

    即可得

    同理可得

    即得

    又由z=rneiθ∈Ω(αj0+ ε',βj0- ε')?Ω(αj+2ηj,βj-2ηj)可知,有,則可得Bαj0+ε',βj0-ε'(rn,f(j)/f)=O(1),即得

    對(duì)Aj(z)(j=1,2,…,k)應(yīng)用不等式(2)

    其中 Ω= Ω(αj0+ ε',βj0- ε'),ω= π/(βj0-αj0-2ε'),由引理5 可知 T0(r,f)=T(r,f)+O(1),則Dαj0+ε',βj0-ε'(rn,Aj)≤Sαj0+ε',βj0-ε'(rn,Aj)=O(T0(rn,Ω,Aj))=O(T0(rn,Aj))=O(T(rn,Aj)).

    從而

    將(11)~(12)代入(10)式,再由(9)式可得

    再聯(lián)立(8)式可得

    由(6)式及(13)式可得

    矛盾.

    (ii)若σ=ρ時(shí),對(duì)A0(z)應(yīng)用引理2,存在σ級(jí)Pólya峰序列{rn},使

    其中rn?F.

    在(4)式和(7)式處用σ代替σ+2ε,其余過程同(i)得σ<σ矛盾.故綜合(i)、(ii),定理1得證.

    關(guān)于方程的無窮級(jí)解的研究,還有許多有意義的結(jié)果.如文[13-14]等就是對(duì)方程的某些系數(shù)給定一定的條件,證明了方程的非零解為無窮級(jí).

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