柯西不等式的一種構造證法及證法應用

摘 要：一維離散型隨機變量的方差（或期望）蘊涵著一個不等關系，利用這個不等關系去有意識地構造概率分布可以創(chuàng)新地解決不等式的最值問題，包括證明柯西不等式. 柯西不等式作為不等式中的典范，能與概率分布牽手必定精彩紛呈. 這種構造性證法為我們數(shù)學競賽的解題、命題提供了一個新的視角.

關鍵詞：概率分布；柯西不等式；構造證法

筆者在運用（*）式解決多元函數(shù)的最值問題時發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的一種構造性證法，柯西不等式是不等式中的典范，能與概率分布牽手必定精彩紛呈，現(xiàn)整理成文，以饗讀者.

構造證法證經典

事實上，從柯西不等式的這種構造性證法可以看出，能運用柯西不等式解決的問題，均可以構造概率分布結合E（X2）≥E2（X）加以解決，這為我們數(shù)學競賽的解題、命題提供了一個新的視角.

陳題新解秀應用

例3 P是三角形ABC內部一點，D，E，F(xiàn)分別是從P點向邊BC，CA，AB所引垂線的垂足，試找出使++達到最小值的所有P點. （第22屆IMO試題）

以上談的是解題的視角，可以看出，構造概率分布解決最值問題需要考慮兩個方面，一是構造滿足pi=1的概率pi，二是要結合問題的結構形式構造出隨機變量要取的值xi. 至于命題的視角當然應該先從構造概率分布表開始，這樣大的框架就定下來了，上述例題均能得到啟示.