淺談雙曲函數(shù)圖象性質的幾種不同表現(xiàn)形式及應用

摘 要：函數(shù)y=x+的圖象、性質與重要應用，是高考要求范圍內(nèi)的重要的基礎知識和考點之一. 本文從圖象入手，推廣了雙曲函數(shù)的表達式，分析了雙曲函數(shù)圖象的幾種不同的表現(xiàn)形式并加以應用.

關鍵詞：雙曲函數(shù)圖象；表現(xiàn)形式；應用

教材在“基本不等式≥”一節(jié)課中已經(jīng)隱含了函數(shù)y=x+的圖象、性質與重要的應用，它是高考要求范圍內(nèi)的一個重要的基礎知識. 在高三復習課中，對于基礎相對比較好一點的學生而言，就有必要系統(tǒng)1. 引理：函數(shù)y=ax+（ab≠0）表示的圖象是以y=ax和x=0（y軸）的直線為漸近線的雙曲線. 根據(jù)漸近線的意義可以理解：ax的值與的值比較，很大的時候，的值幾乎可以忽略不計，起決定作用的是ax的值；當x的值很小，幾乎為0的時候，ax的值幾乎可以忽略不計，起決定作用的是的值. 從而，函數(shù)y=ax+（ab≠0）表示的圖象是以y=ax和x=0（y軸）的直線為漸近線的曲線. 另外可以發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)是奇函數(shù)，它的圖象應該關于原點成中心對稱. 由于函數(shù)形式比較抽象，系數(shù)都是字母，因此要證明曲線是雙曲線是很麻煩的，以下通過一個例題來說明這一結論.

引例：若函數(shù)y=x+是雙曲線，求實半軸a、虛半軸b、半焦距c、漸近線及其焦點，并驗證雙曲線的定義.

2. 幾種不同表現(xiàn)形式

從上面兩個實例可得，形如y=（m≠0，a≠0）函數(shù)值域不但可以用二次方程的Δ判別式來求，也可以用這個雙曲線函數(shù)的單調(diào)性來求，尤其對于自變量不是自然的定義域，而是某個限制的范圍時候，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決顯得更容易入手.