《利用二分法求方程的近似解》教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要：本節(jié)課是北師大版《必修一》第三章第一單元第二節(jié)《用二分法求方程的近似解》的內(nèi)容. 本節(jié)課通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究二分法的原理與步驟，以師生互動(dòng)為主，并輔以多媒體教學(xué)手段，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題進(jìn)行研討，達(dá)到本節(jié)課顯性目標(biāo)和隱性目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)的目的.

關(guān)鍵詞：二分法；函數(shù)；方程；零點(diǎn)

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1必修本（A版）》第三章第一單元第二節(jié)——用二分法求方程的近似解. 二分法的理論依據(jù)是“函數(shù)零點(diǎn)的存在性（定理）”，本節(jié)課是上節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》的自然延伸.

二分法雖然是刻板的、機(jī)械的，有時(shí)還需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，但是它包含了深刻的思想方法，對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是非常有用的，在教學(xué)當(dāng)中要讓學(xué)生感受整體到局部、特殊到一般、定性到定量、精確到近似、計(jì)算到技術(shù)、技法到算法這些數(shù)學(xué)思想的發(fā)展過程.

在二分法教學(xué)中，方法的建構(gòu)、技術(shù)的運(yùn)用、算法的滲透以及它們的同步發(fā)展過程，是這節(jié)課的隱性教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)中它體現(xiàn)出一種螺旋式的上升：第一個(gè)階段是從數(shù)到形，是為了更好地說明二分法的理論依據(jù)（根的存在性）uDk3KmAG+YzW3K/cwSTHQwelR+2JQYxMXxdrlleROmM=；第二個(gè)階段是從形再到數(shù)，其中的形是包括從圖象到數(shù)軸，再從數(shù)軸到表格.在這樣的過程中，形的特征不斷被深化，最后抽象成了以數(shù)為主體的一個(gè)算法流程. 因此，整個(gè)二分法的教學(xué)流程要體現(xiàn)在這樣一個(gè)框架當(dāng)中：它是一個(gè)代數(shù)的問題，第一次轉(zhuǎn)化是從代數(shù)到幾何直觀，第二次轉(zhuǎn)化是從整體到局部，去研究函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間.

學(xué)生已初步理解了函數(shù)圖象與方程的根之間的關(guān)系，具備一定的用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，這為理解函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值符號(hào)提供了知識(shí)準(zhǔn)備. 但學(xué)生僅是比較熟悉一元二次方程解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，對(duì)于高次方程、超越方程與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)比較模糊，計(jì)算器的使用不夠熟練，這些都給學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容造成了一定困難.

1. 知識(shí)與技能

通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，會(huì)用二分法求解具體方程的近似解，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用，體會(huì)程序化解決問題的思想.

2. 過程與方法

借助計(jì)算器利用二分法求方程的近似解，讓學(xué)生充分體驗(yàn)近似的思想、逼近的思想和程序化地處理問題的思想及其重要作用，并為下一步學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備.

3. 情感、態(tài)度、價(jià)值觀

通過探究體驗(yàn)、展示與交流，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，增強(qiáng)合作意識(shí). 通過體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一.

重點(diǎn)——通過用二分法求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí).

難點(diǎn)——恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔?strong style="display:none;">iwOOP83zb4xlkG8jM6QWOGTFSVAFzVpTH96iISXsN2w=技術(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解.

問題導(dǎo)學(xué)、數(shù)學(xué)探究：通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究二分法的原理與步驟，以師生互動(dòng)為主的教學(xué)方法，并輔以多媒體教學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)問題情景，學(xué)生根據(jù)問題研討.

設(shè)計(jì)思路如下：

本節(jié)課以PowerPoint為制作平臺(tái)，演示Excel程序求方程的近似解，界面活潑，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程有機(jī)整合. 在課堂教學(xué)中利用計(jì)算器進(jìn)行了多次計(jì)算，逐步縮小實(shí)數(shù)解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然，突破了教學(xué)上的難點(diǎn)，提高了探究活動(dòng)的有效性.

本節(jié)課采用的是問題驅(qū)動(dòng)、啟發(fā)探究的教學(xué)方法.

通過分組合作、互動(dòng)探究、搭建平臺(tái)、分散難點(diǎn)的學(xué)習(xí)指導(dǎo)方法把問題逐步推進(jìn)、拾級(jí)而上，并輔以多媒體教學(xué)手段，使學(xué)生自主探究二分法的原理.

本節(jié)課特點(diǎn)主要有以下幾方面：

1. 以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，體現(xiàn)了以學(xué)生為主的教學(xué)理念.

2. 注重與現(xiàn)實(shí)生活中案例相結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)生活，又可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題.

3. 注重學(xué)生參與知識(shí)的形成過程，使他們“聽”有所思，“學(xué)”有所獲. 本節(jié)課中的每一個(gè)問題都是在師生交流中產(chǎn)生，在學(xué)生合作探究中解決，使學(xué)生經(jīng)歷了完整的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)合作交流意識(shí).

4. 恰當(dāng)?shù)乩矛F(xiàn)代信息技術(shù)，幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).

本節(jié)課中利用計(jì)算器進(jìn)行了多次計(jì)算，逐步縮小實(shí)數(shù)解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然，突破了教學(xué)上的難點(diǎn)，提高了探究活動(dòng)的有效性. 整個(gè)課件都以PowerPoint為制作平臺(tái)，演示Excel程序求方程的近似解，界面活潑，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程有機(jī)整合.

1. 創(chuàng)設(shè)情境

問題1：1. 你能求解log3x+x=3這個(gè)方程嗎？

2. 你能分析解的大概情況嗎？（幾何畫板展示函數(shù)圖象）

設(shè)計(jì)意圖：（1）通過利用現(xiàn)有知識(shí)未能解決的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生探究興趣；（2）通過該問題，介紹給學(xué)生一些有關(guān)與求解方程有關(guān)的一些數(shù)學(xué)史的知識(shí)；（3）通過該問題組，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，巧妙將方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)的問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成函數(shù)零點(diǎn)的問題.

問題2：令f（x）=log3x+x-3，x0為其零點(diǎn).

1. 零點(diǎn)左右函數(shù)值有什么特點(diǎn)呢？我們能運(yùn)用此性質(zhì)確定零點(diǎn)所在區(qū)間嗎？

2. 我們能將零點(diǎn)所在的區(qū)間縮小嗎？

3. 我們還需要什么條件呢？

4. 限定的精確度為0.5（即區(qū)間長度小于0.5）

設(shè)計(jì)意圖：回歸數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生知識(shí)遷移，并在交流探討中逐步指導(dǎo)學(xué)生二分法求解方程近似解步驟.

抽象概括：在誤差要求的范圍內(nèi)，在某一區(qū)間內(nèi)要找某個(gè)特定值、近似值，可以通過取區(qū)間的中點(diǎn)，把區(qū)間一分為二，逐步縮小特定值所在的區(qū)間（即二分法思想）. 這種思想經(jīng)常用于查找線路電線、水管、氣管等管道線路故障、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、資料查詢，也是方程求近似解的常用方法！

設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活的意義；（2）通過學(xué)生熟悉的實(shí)際情景，讓學(xué)生體會(huì)二分法思想；（3）逐步為利用二分法求解方程近似解作鋪墊.

2. 探究新知

問題3：令f（x）=log3x+x-3，其零點(diǎn)x0∈（1，3）.

1. 實(shí)驗(yàn)計(jì)算：每個(gè)學(xué)習(xí)小組，根據(jù)二分法思想，利用計(jì)算器計(jì)算數(shù)據(jù)，并完成“用二分法求方程近似解實(shí)踐表格”.

滿足精確度時(shí)的零點(diǎn)所在區(qū)間是__________，取近似解為__________.

（1）你能說說每次所取區(qū)間的理由嗎？

（2）“用二分法求方程近似解”時(shí)，所給的精確度有什么作用？

（3）你能用自己的語言描述“用二分法求方程近似解”的方法步驟嗎？

設(shè)計(jì)意圖：（1）將數(shù)學(xué)問題的實(shí)際探究完全交給學(xué)生，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主能動(dòng)性；（2）加強(qiáng)學(xué)習(xí)小組的交流，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)意識(shí).

3. 討論交流

展示各小組填寫的“用二分法求方程近似解表格”，并派代表發(fā)言交流.

（1）你能說說每次所取區(qū)間的理由嗎？

（2）“用二分法求方程近似解”時(shí)，所給的精確度有什么作用？

（3）你能用自己的語言描述“用二分法求方程近似解”的方法步驟嗎？（學(xué)生展示完畢后利用信息技術(shù)EXCLE展示計(jì)算過程，并提高精確度要求，繼續(xù)二分法實(shí)驗(yàn)）

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生語言組織和表達(dá)能力，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)意識(shí).

4. 抽象概括

5. 深入探究

問題4：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)曲線，并且在閉區(qū)間[a，b]端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f（a）f（b）<0，則f（x）在（a，b）上有一個(gè)零點(diǎn)嗎？

勘根定理：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)曲線，并且在閉區(qū)間[a，b]端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f（a）f（b）<0，則f（x）在（a，b）上至少有一個(gè)零點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的教學(xué)，也為后續(xù)探討問題作理論鋪墊.

問題5：是不是所有的零點(diǎn)問題都可以用本節(jié)課的方法？你能舉例嗎？

結(jié)論：不是所有的零點(diǎn)都適合，不連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)或同號(hào)零點(diǎn)等等，例如：方程x4+2x3-3.5x2-6x+2=0對(duì)應(yīng)函數(shù)f（x）=x4+2x3-3.5x2-6x+2，如圖2所示.

（1）函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？

（2）你能說說在這些零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值有什么特征 ？

（3）“利用二分法求方程近似解”這種方法對(duì)于它們都適用嗎？

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和辨識(shí).

6. 反饋練習(xí)

問題5：1. 你能分析2x3+3x-3=0解的大概情況嗎？精確度為0.5.

7. 內(nèi)容小結(jié)

問題6：這節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？體會(huì)到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

知識(shí)小結(jié)：

（1）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似解的適用條件？

（2）用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解的方法步驟？

思想方法小結(jié)：

（1）二分法的基本思想；（2）函數(shù)與方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）算法思想.

設(shè)計(jì)意圖：（1）指引學(xué)生進(jìn)行知識(shí)回顧，提煉本節(jié)課知識(shí)要點(diǎn)；（2）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

8. 作業(yè)布置

1. 知識(shí)鞏固

2. 課外拓展

3. 課外思考

（1）如果現(xiàn)在地處學(xué)校附近的地下自來水管某處破裂了，那么怎么找出這個(gè)破裂處？要不要把水泥板全部掀起？

（2）有48個(gè)大小形狀一樣的小球，有一個(gè)質(zhì)量和其他47個(gè)不一樣，不知道是重還是輕. 現(xiàn)只有一個(gè)天秤，如何最快的把這個(gè)質(zhì)量不同的球找出來？

設(shè)計(jì)意圖：（1）分層布置作業(yè)；（2）設(shè)計(jì)課外數(shù)學(xué)史有關(guān)內(nèi)容的調(diào)查，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（3）將實(shí)際問題引入，體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的意義.

9. 板書布置

雖然新課程已實(shí)施幾年，但《二分法求方程近似解》這部分內(nèi)容大部分教師只教過一遍，筆者也一樣. 為了備好、上好這節(jié)課，筆者于是找來了課標(biāo)、大綱、教參以及一些相關(guān)書集先認(rèn)真研習(xí)了一遍，還參考了數(shù)學(xué)史方面有關(guān)求解方程部分的內(nèi)容，然后通過各種方式找到了這一節(jié)內(nèi)容的各種教學(xué)案例，請(qǐng)教了組內(nèi)其他教師，最終形成了本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì). 設(shè)計(jì)這堂課的主要思路是要在新課程中的新內(nèi)容中體現(xiàn)出新課程的新理念，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，以學(xué)代講！

通過這次備課和上課，筆者的認(rèn)識(shí)有了提高，現(xiàn)總結(jié)如下：

首先，在教學(xué)中要讓學(xué)生感受到二分法雖然是刻板的、機(jī)械的，甚至有時(shí)還需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，但是它包含了深刻的思想方法，對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是非常有用的，在教學(xué)當(dāng)中要讓學(xué)生感受整體到局部、特殊到一般、定性到定量、精確到近似、計(jì)算到技術(shù)、技法到算法這些數(shù)學(xué)思想的發(fā)展過程.

其次，要更好地揭示教材的編寫意圖. 在二分法教學(xué)中，方法的建構(gòu)、技術(shù)的運(yùn)用、算法的滲透以及它們的同步發(fā)展過程，是這節(jié)課的隱性教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)中它體現(xiàn)出一種螺旋式的上升：第一個(gè)階段是從數(shù)到形，是為了更好地說明二分法的理論依據(jù)（根的存在性）；第二個(gè)階段是從形再到數(shù)，其中的形是包括從圖象到數(shù)軸，再從數(shù)軸到表格.在這樣的過程中的形的特征不斷被深化，最后抽象成了以數(shù)為主體的一個(gè)算法流程. 因此，整個(gè)二分法的教學(xué)流程要體現(xiàn)在這樣一個(gè)框架當(dāng)中：它是一個(gè)代數(shù)的問題，第一次轉(zhuǎn)化是從代數(shù)到幾何直觀，第二次轉(zhuǎn)化是從整體到局部，去研究函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間.

這次教學(xué)設(shè)計(jì)，筆者雖然也認(rèn)真地研究了教材，也力圖體現(xiàn)新課程的一些理念，但是整堂課上下來，自己也有些地方不滿意. 雖然盡量創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、探索學(xué)習(xí)，尤其是在二分法方法的發(fā)現(xiàn)上，盡量讓學(xué)生自己去探究，但部分學(xué)生還是沒有參與其中.部分學(xué)生能夠通過給定的情境尋找到解題方法，還有些學(xué)生并沒有體會(huì)到情景設(shè)置的意圖，它的背景是一個(gè)教師對(duì)于學(xué)生認(rèn)知水平和知識(shí)建構(gòu)、數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性等等多方面的知識(shí)的整合. 另外，最后問題的深入探究和整堂課的知識(shí)回顧過于草率，沒有留給學(xué)生回顧整合的時(shí)間. 其實(shí)時(shí)間的掌握不太準(zhǔn)確，實(shí)際上是由于教師在備課的過程中心中準(zhǔn)備的“教案”太少，缺少隨機(jī)應(yīng)變的能力，備學(xué)生“備”的不足. 這些對(duì)于教師的數(shù)學(xué)功底有很高的要求，所以最迫切的、最有效的方式就是鉆研教材，閱讀和學(xué)習(xí)，筆者做得還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還需要不斷學(xué)習(xí).