R中數(shù)字集的刻畫

相中啟，簡輝華

(1.華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，中國武漢 430079;2.新余學院電氣與電子工程學院，中國新余 338004)

設b ≥2 是一整數(shù)，D={d0，…，db－1}?R 是數(shù)字集，則數(shù)字對(b，D)定義了一迭代函數(shù)系統(tǒng)

φi(x)=b－1(x+di)，0 ≤i ≤b－1.

這些映射顯然是壓縮映射，因此存在唯一的非空緊集T=T(b，D)使得［1－2］.該集合方程的一個等價形式為

更確切地，我們可以將T 中的元素表示成關于基b 及數(shù)字集D 的基數(shù)展式，即

如果T· ≠?，我們稱T=T(b，D)是自相似tile，D 為自相似tile 數(shù)字集.這個條件等價于，也等價于T 的Lebesgue 測度m(T)＞0［3］.

設T=T(b，D)是自相似tile，則L2(T)中的內(nèi)積規(guī)定為

對于數(shù)字集的研究，我們最關心的是那些可以生成自相似tile 的數(shù)字集，最簡單的形式由Bandt 給出［4］:若D 是模b 完全剩余系，則T(b，D)是自相似tile.我們稱這樣的數(shù)字集為標準數(shù)字集.特別地，如果b 是素數(shù)，Kenyon 在文［5］中給出如下結(jié)論:

T(b，D)是自相似tile 當且僅當D 是模b 完全剩余系.

對于D 不是標準數(shù)字集的情形，最重要的是積形式的數(shù)字集，這一形式的數(shù)字集由Odlyzko 引入［6］，用于研究實數(shù)關于基b 的基數(shù)展式，而后Lagarias 與汪洋在文［7］中給出其正式定義:

如果D=ε0+bl1ε1+…+blkεk，其中ε=ε0⊕ε1⊕…⊕εk是模b 完全剩余系，0 ∈εi(0 ≤i ≤k)，0 ≤l1≤l2≤…≤lk，則稱D 為積形式數(shù)字集.再者，如果ε={0，1，2，…，b－1}，那么稱D 為嚴格積形式數(shù)字集.

他們證明了:如果D 是積形式的數(shù)字集，則T(b，D)是自相似tile.

Kenyon 給出了一個研究自相似tile 數(shù)字集的重要工具，稱為Kenyon 準則.該準則已被廣泛應用于研究自相似tile 數(shù)字集及相關課題［7－9］.何興綱與劉家成［9］推廣了Protasov［10］關于最小切集的定義，建立了緊集的概念，受此啟發(fā)，本文給出了一種研究自相似tile 數(shù)字集的新方法.

1 自復制tiling 集

設T 是T=T(b，D)的tiling 集，若T=bT+D，則稱T 是自復制的.劉家成和饒輝［8］加強了Kenyon 在文［11］中的結(jié)果，得到:

定理1［8］設0 ∈D ?Z 且D 中的元素互素.如果T=T(b，D)是自相似tile，則

(1)存在唯一的自復制tiling 集T 具有性質(zhì):0 ∈T ?Z，存在m ≥0 使得T=T+bm.

(2)若S ?Z 是周期的且S=bS+D，則(T，S)是一tiling 對且S=T.

注1上述結(jié)果中唯一性的獲得需要假定0 ∈T 或者T ?Z，如果無此假設，則自復制tiling 集可能不唯一.例如，b=3，D={0，1，2}，則T=［0，1］，因此Z 與均是T 的自復制tiling 集.

引理1［5］設D={d0，…，db－1}?Z+，則D 是自相似tile 數(shù)字集的充分必要條件是對任意整數(shù)m ≠0，存在k ≥1 使得，其中.

定理2設T=T(b，D)是自相似tile，T 是其唯一的自復制tiling 集，則{eλ:eλ(x)=e2πiλx，λ ∈T}是L2(T)中的規(guī)范正交集.

證令，對T 上的特征函數(shù)XT作Fourier 變換，則對任意k ≥1 有

對任意λ，γ ∈T，λ ≠γ，由引理1 知，存在k ≥1 使得，因此

如果D 是模b 完全剩余系，Lagarias 等［12］證明了T(b，D)有格tiling.該結(jié)論中的假設條件不能減弱，事實上即使D 是嚴格積形式，T(b，D)也可能沒有格tiling.例如，若b=4，則D={0，1，8，9}={0，1}+4{0，2}.因此D 是嚴格積形式，且ε0={0，1}，ε1={0，2}，ε={0，1，2，3}.易見T(b，D)=［0，1］∪［2，3］，因此T(b，D)沒有格tiling，但有2 個不同的周期tilings，即

T={j+4Z:j=0，1}，T'={j+4Z:j=0，3}.

定理3設D={d0，…，db－1}是嚴格積形式.如果b 是素數(shù)，則T(b，D)有格tiling T，并且T 是自復制的.

證由嚴格積形式的定義，?ej∈ε 有唯一分解

ej=ej，0+ej，1+…+ej，k，ej，i∈εi，0 ≤i ≤k.

由于?dj∈D 也有唯一分解:dj=ej，0+bl1ej，1+…+blkej，k，因此有

注意到blkEi=Ei+Ai，lk，其中，若k=0，則規(guī)定Ai，lk={0}.于是

T(b，D)=E0+(E1+A1，l1)+…+(Ek+Ak，lk)=(E0+E1+…+Ek)+(A1，l1+…+Ak，lk)=T(b，ε)+(A1，l1+…+Ak，lk)=［0，1］+(A1，l1+…+Ak，lk).

因為b 是素數(shù)，則或者D={0，1，…，b－1}，此時T(b，D)=［0，1］有格tiling T=Z，且T=bT+D，即T 是自復制的;或者存在m，1 ≤m ≤k，使得D=blm{0，1，…，b－1}.所以

T(b，D)=［0，1］+Am，lm=blm［0，1］.

由于T(b，D)+blm(［0，1］+Z)=blmR=R，因此T(b，D)有格tiling T=blmZ.易見bT+D=blm(bZ+{0，1，…，b－1})=blmZ=T，所以T 是自復制的.

2 C－緊集

設C={c0，c1，…，cm}?Z.令φj(x)=b－1(x+cj).利用壓縮映射系統(tǒng)來定義樹結(jié)構(gòu):令α0=0，αk=φjk(αk－1)=b－1(αk－1+cjk)，cjk∈C 表示第k 次迭代的衍生物.我們稱這樣的αk為一個C－狀態(tài).易見αk=b－kcj1+…+b－1cjk.令表示所有的

對一有限序列{cj0，cj1，…，cjk}，令α0=0，αk=b－kcj1+…+b－1cjk，1 ≤k ≤n，稱相應的有限狀態(tài)列γ=為一條從0 到αn的路徑，無窮路徑可類似定義.

定義1設C={c0，c1，…，cm}?Z.令P 表示所有包含無窮多個不同狀態(tài)的路徑的集合，若滿足

(1)0 ?N;

引理2設D={d0，…，db－1}是自相似tile 數(shù)字集，則對任意非零整數(shù)

證由定理2 知

對任意整數(shù)m ≠0，令r=bkm，則對所有的)，由(3)式，.因為T 是自相似tile，故XT是有緊支撐的L1函數(shù)，由Riemann-Lebesgue 引理知，

定理4設D{d0，…，db－1}?Z，則D 是自相似tile 數(shù)字集當且僅當對任意的數(shù)字集C={0=c0，c1，…，cm}?Z，m ≥1，存在緊集N 使得?a ∈N，PD(e2πia)=0.

證先證必要性.設D 是自相似tile 數(shù)字集，XT是自相似tile T=T(b，D)上的特征函數(shù)，則

對任意給定的數(shù)字集C={0=c0，c1，…，cm}?Z，m ≥1，任意路徑，考慮那些使得0 ≠vk=bkαk∈Z 的αk，則vk=cj1+…+bk－1cjk.由的整周期性，對所有的l ≤k，

由引理2 知

再證充分性.設存在緊集N 使得?a ∈N，PD(e2πia)=0.假設D 不是自相似tile 數(shù)字集，則由引理1 知存在整數(shù)m ≠0，使得任意，其中只有某個ci=m(1 ≤i ≤n)，其余均為零.定義無窮路徑，其中αk=b－kcj1+…+b－1cjk且α0=0.由緊集的定義知，至少存在一點αl∈N，因此PD(e2πiαl)=0，矛盾.于是充分性得證.

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