一個半離散非單調(diào)核逆向的Hilbert型不等式

陳 強(qiáng)，楊必成

(1.廣東第二師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)系，廣東廣州510303;2.廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東廣州510303)

其中，常數(shù)因子π 仍為最佳值.式(1)與式(2)是分析學(xué)的重要不等式［1-2］，有不少推廣應(yīng)用［3-8］. 關(guān)于半離散、非齊次核的Hilbert 型不等式，其零星結(jié)果可見文獻(xiàn)［1］、［9］. 關(guān)于半離散、齊次且單調(diào)核逆向的Hilbert 不等式，見文獻(xiàn)［10］的具有最佳常數(shù)因子的工作:

本文應(yīng)用權(quán)系數(shù)的方法，建立一個半離散、非單調(diào)核逆向的Hilbert 型不等式:設(shè)θ1(x)=O(1/x1/2)則有

其中，常數(shù)因子8 為最佳值.還考慮了它的引入多參數(shù)的最佳推廣式與等價式.

1 引理

若f(y)在(0，∞)連續(xù)且按段光滑，ρ(y)=y -［y］-1/2 為1 階Bernoulli 函數(shù)，則有

證明 我們有

式(7)成立.證畢.

注1 由式(7)，對1≤n=［x］≤x，當(dāng)n≥2 時，有

故有

則有θ(x)＞0，θ(x)=O1(1/xλ/r)(x≥1).

證明 (a)令u=y/x，有

定義函數(shù)g(y)，h(y)如下:

則-f'y(x，y)=g(y)-h(y).設(shè)a =(1 -λ)/x2+λ/r，b=(-1 -λ)/x2+λ/r，則a-b=2/x2+λ/r.定義

則因g1(x-0)-a =g2(x)，h1(x -0)-a =h2(x)，故與(y［1，∞))遞減連續(xù)，且有由式(6)、(8)，有ε1［0，1］，εi(0，1)(i=2，3)，使

因g1(1)-a≥g1(x -0)-a =g2(x)＞0，h1(1)-b≥h1(x-0)-b=h2(x)＞0，故由式(10)有

化簡可得

故θ(x)＞x-λ/rρλ(x)＞0 (x≥1).

(b)在式(10)中，我們還有如下逆向不等式及相關(guān)結(jié)果:故θ(x)=O1(1/xλ/r)(x≥1).證畢.

引理3 在引理1 的條件下，定義如下權(quán)函數(shù)及權(quán)系數(shù):

則有

證明 作變換t=x/n，有

再由式(5)及引理1，有

故式(13)成立.證畢.

證明 由帶權(quán)逆向的H?lder 不等式［11］及式(11)～(13)，有

故式(15)成立. 由逆向的H?lder 不等式［11］及式(11)～(13)，注意到q ＜0，又有

故式(16)成立.證畢.

2 結(jié)果

則有如下等價式:

證明 由L 逐項(xiàng)積分定理［12］，式(19)中Ⅰ有2種表示.由條件，式(17)不取等號，故有式(20). 由逆向的H?lder 不等式，有

由式(20)，有式(19). 反之，設(shè)式(19)成立. 取則由式(19)，有

由式(17)及條件，知J1＞0.若J1=∞，則式(20)自然成立;若J1＜∞，則應(yīng)用式(19)的條件都具備，式(23)取嚴(yán)格不等號，且在式(23)中兩邊除以J1/q1，有

故式(20)成立，且與式(19)等價.

由條件，式(18)取嚴(yán)格不等號，故有式(21).配方并由逆向的H?lder 不等式，有

由式(18)及條件，知J2＜∞.若J2=0，則式(21)自然成立;若J2＞0，則應(yīng)用式(19)的條件都具備，式(25)取嚴(yán)格不等號，且有

兩邊q(＜0)次方，故式(21)成立，且與式(19)等價.故式(19)、(20)與式(21)齊等價.

由式(26)、(27)，有

故有kλ≥k (ε→0+). 因而k =kλ為式(19)的最佳值.式(20)(式(21))的常數(shù)因子必為最佳值，不然，由式(22)(式(24))，必導(dǎo)出式(19)的常數(shù)因子也不為最佳值的矛盾.證畢.

評注 (a)當(dāng)r =s =2，λ =1 時，式(19)變?yōu)槭?4);式(20)、(21)變?yōu)槿缦屡c式(4)等價的具有最佳常數(shù)因子的半離散非單調(diào)-1 齊次核的Hilbert 型不等式:

(b)能否把式(19)～(21)的積分區(qū)間拓展為(0，∞)，這是一個待解決的公開問題.

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