一道簡潔優(yōu)美賽題的多解與引申

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(湖州市第五中學(xué) 浙江湖州 313000)

一道簡潔優(yōu)美賽題的多解與引申

●計(jì)惠方李明妍

(湖州市第五中學(xué) 浙江湖州 313000)

2013年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽有這樣一道簡潔優(yōu)美的試題：

1 一般情形

2 多種證法

賽題除參考答案提供的常規(guī)證法外，還有如下簡便易行的證法：

分析1由于直線PQ的斜率可以不存在但不為0，為避免對斜率進(jìn)行討論，設(shè)直線為x=ky+m．

證法1設(shè)直線PQ的方程為

x=ky+m,P(x1,y1),Q(x2,y2)．

y2-2pky-2pm=0,

于是

y1+y2=2pk,y1y2=-2pm.

證法2設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為

其中t為參數(shù)，θ為直線的傾斜角，此時θ∈(0,π)，且點(diǎn)P,Q對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2.將直線PQ的參數(shù)方程代入拋物線y2=2px(p≠0),得

sin2θ·t2-2pcosθ·t-2mp=0(sinθ≠0),

則

又當(dāng)點(diǎn)P→O時，

|KP|→|KO|=m,|KQ|→+∞,

從而

證法3設(shè)直線PQ的方程為

x=ky+p,P(x1,y1),Q(x2,y2)．

y2-2pky-2p2=0,

則

Δ=4p2k2+8p2>0,

y1+y2=2pk,y1y2=-2p2.

又

3 變化引申

當(dāng)PQ⊥x軸時，設(shè)P(m,n),則Q(m,-n).因?yàn)辄c(diǎn)P,Q在橢圓上，所以

即

于是

當(dāng)PQ與x軸重合時,

根據(jù)假設(shè)有

解得

證明當(dāng)直線PQ與x軸不重合時，設(shè)直線PQ的方程為

P(x1,y1),Q(x2,y2).

(b2k2+a2)y2+2mkb2+b2m2-a2b2=0,

從而 (y1+y2)2-2y1y2=

證明可仿引申1.

當(dāng)PQ⊥x軸時，設(shè)P(m,n),則Q(m,-n).因?yàn)辄c(diǎn)P,Q在雙曲線上，所以

即

于是

當(dāng)PQ與x軸重合時，

根據(jù)假設(shè)有

解得

證明可由感興趣的讀者完成.

[1] 計(jì)惠方.例談?wù)n本知識與高考試題的對接[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2012(1)：45-47.

[2] 計(jì)惠方，蔡穎.聚焦由直線系產(chǎn)生的定值問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)(上),2013(1)：24-25.