2013年福建省數(shù)學高考試題帶來的啟示

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(永安市第一中學 福建永安 366000)

2013年福建省數(shù)學高考試題帶來的啟示

●宋建華

(永安市第一中學 福建永安 366000)

一年一度的高考如期而至，新鮮出爐的高考試題令人賞心悅目，這些試題凝聚著命題者的心血，完美地詮釋了《高考數(shù)學考綱》與《高考數(shù)學考試說明》的要求，給我們帶來頗多的啟示．

1 數(shù)學探究是福建省數(shù)學高考試題的特色

《高中數(shù)學課程標準》要求在教學過程中注重數(shù)學探究，這是由于數(shù)學探究有助于學生了解數(shù)學概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程；有助于培養(yǎng)學生勇于質(zhì)疑和善于反思的習慣，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力；有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力．

在高考試題中出現(xiàn)的數(shù)學探究主要考查學生圍繞某個數(shù)學問題，觀察、分析數(shù)學事實，提出有意義的數(shù)學問題，或者猜測、探求適當?shù)臄?shù)學結(jié)論、規(guī)律，給出解釋或證明的能力，數(shù)學探究已成為檢測學生學習潛能的一種重要的手段．

福建省的數(shù)學高考試卷特別鐘情于數(shù)學探究并且逐漸形成特色，從近5年的試卷中可以得到驗證．表1為福建省實施課標課程的5年來，在理科卷6道解答題中涉及數(shù)學探究的試題分布情況，從中可以看出數(shù)學探究所占的份量．

表1 近5年福建省理科卷6道解答題中涉及數(shù)學探究的試題分布情況

圖1

例1如圖1，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).

(1),(2)(略)

(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCD-A1B1C1D1形狀和大小完全相同的2個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f(k)，寫出f(k)的解析式(直接寫出答案，不必說明理由)．

(2013年福建省數(shù)學高考理科試題第19題)

分析進行數(shù)學探究的試題從結(jié)構(gòu)看有：條件開放的探究、結(jié)論開放的探究以及條件與結(jié)論均開放的探究；從試題的類型看有：方案設(shè)計型的探究、規(guī)律探索型的探究、解題策略型的探究等．本題第(3)小題要求對已知幾何體進行拼接從而構(gòu)造出新的幾何體，問題的開放性設(shè)計利于學生多角度地進行探究，考查了學生的空間想象能力和思維的嚴謹性、發(fā)散性，而直接寫出答案不必說明理由的要求，則能反映學生的直覺思維與抽象概括能力．

2 數(shù)學應用意識得到強化

《考綱》與《考試說明》均有要求發(fā)展學生的數(shù)學應用意識，重視應用意識的考查．對數(shù)學應用意識的考查主要采用解決應用問題的形式，依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，構(gòu)造數(shù)學模型并加以解決．

數(shù)學應用意識考查的難點與核心在于數(shù)學建模，所謂數(shù)學建模就是運用數(shù)學思想、方法和知識解決實際問題的過程，是尋求建立數(shù)學模型方法的過程．《課程標準》對高中階段的數(shù)學建模也有詳細的要求，數(shù)學建模有助于學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數(shù)學與日常生活和其他學科的聯(lián)系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識．

由于客觀條件及學生知識水平的限制，數(shù)學高考應用意識的考查還難以與數(shù)學建模劃等號，實際操作中常常對課本例、習題進行改造，或?qū)ΤＲ?guī)的試題增加生活背景，或以概率統(tǒng)計的面目出現(xiàn)，這些做法都能達到考查學生數(shù)學應用意識的目的．

例2某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為2組，再將2組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分別加以統(tǒng)計，得到如圖2所示的頻率分布直方圖．

圖2

(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；

(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

(2013年福建省數(shù)學高考文科試題第19題)

分析我們知道獲取數(shù)學知識并不是最終目的，應用數(shù)學知識去解決生產(chǎn)、生活中的實際問題才是學習數(shù)學的出發(fā)點和歸宿.本題從實際問題出發(fā)，考查了學生應用概率統(tǒng)計知識與方法解決實際問題的能力，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計知識在決策中的作用．

3 讓絢麗的數(shù)學文化之花為數(shù)學試卷增色

《課程標準》提出并對數(shù)學文化進行了詳盡的描述與要求,這是前所未有的，體現(xiàn)了設(shè)計者對數(shù)學文化的重視．數(shù)學不僅是數(shù)學知識的匯總，更重要的是它包含著豐富而深刻的文化內(nèi)涵，通過感悟數(shù)學文化，可以讓學生更深刻地感受到數(shù)學對于人們的影響，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情．

通過數(shù)學文化的方式對數(shù)學知識進行考查是一種新的形式，當課堂教學中已經(jīng)相當重視數(shù)學文化的滲透與傳播之時，在數(shù)學高考試題中，如何體現(xiàn)數(shù)學文化是一個全新的課題，進行合理地考查將有助于加強學生對數(shù)學文化的感悟，有助于加強教師對數(shù)學文化的重視與傳承．福建省數(shù)學高考試卷中對此雖有體現(xiàn)但仍顯不足，湖北省的高考試卷在這方面有許多做法值得借鑒．

例3我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是______寸(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸).

(2013年湖北省數(shù)學高考文科試題第16題)

分析《數(shù)書九章》是南宋數(shù)學家秦九韶唯一的數(shù)學著作，書中列有81問,算題共分為9類，該書概括了宋元時期中國傳統(tǒng)數(shù)學的主要成就，標志著中國古代數(shù)學的高峰．本題借助“天池盆測雨”這個問題體現(xiàn)數(shù)學文化，從知識的層面看只是考查圓臺的體積以及圓的面積,要求不高，但通過這樣的考查方式卻能讓學生感受到中華數(shù)學文化燦爛的瑰寶．

4 數(shù)學本質(zhì)是問題之源，是考查之本

《課程標準》指出：高中數(shù)學課程應返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì);《考綱》也規(guī)定高考要考查考生對數(shù)學思想方法和數(shù)學本質(zhì)的理解水平．

數(shù)學本質(zhì)在數(shù)學發(fā)展史上有許多不同的見解，數(shù)學本質(zhì)的內(nèi)涵應包括：數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學規(guī)律的形成過程、數(shù)學思想方法的提煉、數(shù)學理性精神的體驗等．數(shù)學本質(zhì)是問題之源，是考查之本,數(shù)學高考試題若能在數(shù)學本質(zhì)上進行設(shè)問，多考查數(shù)學本質(zhì)的內(nèi)涵，則能更好地讓學生體會到數(shù)學最核心、最本質(zhì)的內(nèi)容,體會知識間的聯(lián)系，改變教師教學中“重結(jié)果、輕過程”的現(xiàn)象，加深廣大師生對數(shù)學本質(zhì)的理解．

例4已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表2：

表2 x與y的值

假設(shè)根據(jù)表2中數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為y=bx+a，若某同學根據(jù)表2中的前2組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y′=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是

( )

A．b>b′,a>a′ B.b>b′,aa′ D．b

(2013年福建省數(shù)學高考文科試題第9題)

分析本題有別于以往對線性回歸的考查方式，如果套用公式進行計算將非常繁雜且不是命題者的本意.本題將設(shè)問放置在線性回歸方程中最為本質(zhì)的知識點(散點圖)上進行考查，讓學生從數(shù)學的本質(zhì)來體會知識的聯(lián)系，顯得真實而自然、簡單而優(yōu)美，對于線性回歸知識形成有序的、相互聯(lián)系的認知結(jié)構(gòu)很有幫助．

5 規(guī)避模式成為主基調(diào)

數(shù)學高考試卷不僅承載著選拔的功能，也承擔著指導教學的任務.如何破除當前教學中存在的“題海戰(zhàn)術(shù)”等種種弊端，規(guī)避固有模式是一種行之有效的策略，它減少了猜題、壓題的沖動．規(guī)避模式可以采用更靈活的試題編排順序，或者在數(shù)學知識的考查上更多地進行交匯．

現(xiàn)階段高中數(shù)學的主干知識包括函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計，這些主干知識是支撐高中數(shù)學知識體系的主要內(nèi)容，構(gòu)成了數(shù)學高考試卷的主體．表3為2009～2013年福建省數(shù)學高考試題中解答題考查內(nèi)容的統(tǒng)計，從中可以看出在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，規(guī)避了試題的編排模式．

表3 2009～2013年福建省數(shù)學高考理科試題中解答題考查內(nèi)容的統(tǒng)計

僅在試題的題序上做文章還不足以達到規(guī)避模式，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計試題，往往能使試題的情境新穎別致，對基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度，交匯能將知識、能力與素質(zhì)融為一體，從而實現(xiàn)規(guī)避模式的目的．

高中數(shù)學的知識網(wǎng)絡(luò)交匯點數(shù)不勝數(shù)，交匯的形式也多種多樣，由此產(chǎn)生的試題更是精彩紛呈．通常知識的交匯可以在2個或2個以上不同的知識模塊之間實現(xiàn)，即以一個知識模塊為載體,考查其他模塊的知識，也可以是同一知識模塊內(nèi)的不同知識點之間的交匯．前者由于知識的內(nèi)容反差較大，常使得試題的呈現(xiàn)形式新穎別致，出乎預料的交匯形式容易引起人們的注意;而后者的交匯形式較為隱蔽而不顯山露水，有時題目看似傳統(tǒng)，但可能所蘊涵的數(shù)學思想方法卻十分深刻．

(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式.

(3)求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2 013個零點.

(2013年福建省數(shù)學高考理科試題第20題)

分析本題以三角函數(shù)為載體，與數(shù)列、導數(shù)進行交匯.不同知識模塊的交匯使本題新穎別致，特別是其壓軸題的角色更使其成為亮點，外在的交匯形式只是其一.在第(2)小題探究3個數(shù)成等差數(shù)列的過程中，需要考生對3個數(shù)的大小進行辨析，從而優(yōu)化解題過程，考查考生思維的簡捷性，同時較好地考查了考生的運算求解能力；第(3)小題先研究函數(shù)在一個周期內(nèi)圖像的性態(tài)，再從特殊到一般解決問題，綜合地考查了考生的抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力，這些都使本題熠熠生輝．

2013年福建省數(shù)學高考試題給了我們許多啟示，將促使我們進行更多地教學反思．

[1] 數(shù)學課程標準研制組．普通高中數(shù)學課程標準(實驗)解讀[M]．南京：江蘇教育出版社，2004：288-292.

[2] 宋建華．高中數(shù)學主干知識考查的六個關(guān)鍵詞[J]．中小學數(shù)學:高中版，2012(7/8)：70-72.