構(gòu)造對偶式 巧解競賽題

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(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 四川南充 637002)

構(gòu)造對偶式巧解競賽題

●高明

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 四川南充 637002)

構(gòu)造對偶式是基于對稱思想的一種解題方法，主要利用題目的結(jié)構(gòu)特征，尋找銜接點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)地位相等、結(jié)構(gòu)類似、聯(lián)系緊密的對偶式，通過二者的和、差、積、商等運(yùn)算，架設(shè)解題的橋梁，使問題巧妙獲解.

1 構(gòu)造對偶式，簡算三角值

在一些關(guān)于三角函數(shù)求值的問題中，通過構(gòu)造互余對偶式、和差對偶式，常常能達(dá)到簡化運(yùn)算過程，起到化難為易、事半功倍的效果.

例1cos210°+cos250°-sin40°sin80°的值為______.

(1991年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析本題主要考查三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化和化簡，常常采用降次的方法進(jìn)行解決，但運(yùn)算較為繁瑣.事實(shí)上，從整體結(jié)構(gòu)思考，將cos210°+cos250°-sin40°sin80°視為一個(gè)整體(令為A)，構(gòu)造互余對偶式sin210°+sin250°-cos40°cos80°(令為B)，即

A=cos210°+cos250°-sin40°sin80°,

B=sin210°+sin250°-cos40°cos80°,

將2個(gè)式子進(jìn)行和差運(yùn)算，可得

A+B=2-cos40°,

因此

(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

圖1

解得

從而

評注在對三角函數(shù)求值時(shí)，通過正弦余弦互余、和差式等結(jié)構(gòu)特征，由目標(biāo)導(dǎo)向構(gòu)造對偶式，再進(jìn)行恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算，從而另辟蹊徑，出奇制勝.

2 構(gòu)造對偶式，妙證不等式

在證明某些不等式問題時(shí)，利用不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造對偶式，使問題化繁為簡，巧妙解決.

例3已知a1,a2,…,an都是正數(shù)，且其和為1，求證：

(第24屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

A-B=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-a1)=0,

即

A=B.

同時(shí)

從而

例4若已知a1,a2,…,an都是正數(shù)，且其和為1，求證：

(第6屆河南省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

分析將所證表達(dá)式的左邊令為A，由于A具有輪換對稱的特征，于是構(gòu)造一個(gè)地位相等、結(jié)構(gòu)類似、聯(lián)系緊密的對偶式(令為B):

將A,B進(jìn)行和差運(yùn)算，得

A-B=(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-a1)=0,

即

A=B.

從而

評注在多元變量不等式的證明中，抓住題目的條件或結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，有技巧地構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)相似的式子，通過整體結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，化整為零，各個(gè)擊破，使問題變得清晰可解.

3 構(gòu)造對偶式，妙解無理式

在解一些含根式的無理方程時(shí)，根據(jù)無理式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造共軛的對偶式，可達(dá)到去除難點(diǎn)、靈活化簡的目的.

例5方程

的解x為______.

(第12屆希望杯高中數(shù)學(xué)競賽試題)

分析該方程為無理方程，涉及正弦余弦運(yùn)算，化簡異常復(fù)雜，不易直接解出方程的解，解題思維受阻.不妨轉(zhuǎn)變角度，視

為一個(gè)整體，再構(gòu)造結(jié)構(gòu)類似的對偶式方程

將2個(gè)式子進(jìn)行和差運(yùn)算，得

從而

6cosx=m2+6m+3，

解得m=0，于是

因此

從而

化簡得

因此

解得

評注對于含無理式的方程，通過構(gòu)造對偶式，簡化了復(fù)雜的結(jié)構(gòu)討論，降低問題的難度，使得解答自然，探索過程更加簡潔，運(yùn)算更加輕松，巧妙解決問題.

數(shù)學(xué)競賽試題因其內(nèi)容的廣泛性與深刻性，其解答包含著豐富的思想.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)有意識地讓學(xué)生掌握和運(yùn)用構(gòu)造的思想，加深對數(shù)學(xué)方法的理解,既有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、收斂思維和邏輯思維能力，又可以讓學(xué)生開闊視野,深化解題方法，提高解題技巧，培養(yǎng)創(chuàng)新思維的目的，體現(xiàn)構(gòu)造思想解決數(shù)學(xué)問題的美妙.