利用f(f(x))=x根的性質(zhì)巧解2道高考題

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(南昌市外國語學(xué)校 江西南昌 330025)

利用f(f(x))=x根的性質(zhì)巧解2道高考題

●梁懿濤

(南昌市外國語學(xué)校 江西南昌 330025)

( )

A.[1,e] B.[e-1-1,1]

C.[1,e+1] D.[e-1-1,e+1]

(2013年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0，但f(x0)≠x0，則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn)，如果f(x)有2個(gè)二階周期點(diǎn)x1,x2,試確定a的取值范圍；

(3)對于第(2)小題中的x1,x2和a，設(shè)x3為函數(shù)f(f(x))的最大值點(diǎn)，A(x1,f(f(x1)))，B(x2,f(f(x2)))，C(x3,0)，記△ABC的面積為S(a)，討論S(a)的單調(diào)性．

(2013年江西省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

這2道試題不約而同地利用二階迭代函數(shù)y=f(f(x))的不動點(diǎn)，即f(f(x))=x的根來命題．因?yàn)?/p>

f(f(x0))=x0?f(x0)=f-1(x0)，

(1)

所以原問題可以轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=f-1(x)的交點(diǎn)問題，從而得到試題的簡易解法(注：式(1)處f-1(x0)表示滿足f(x)=x0的任意x)．

解答2道試題前，筆者先給出以下4個(gè)引理：

引理1函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1(x)圖像的交點(diǎn)，或者在直線y=x上，或者關(guān)于直線y=x對稱地成對出現(xiàn)．

證明設(shè)(a,b)是y=f(x)與y=f-1(x)圖像的交點(diǎn)，即

從而

即(b,a)也是y=f(x)與y=f-1(x)圖像的交點(diǎn)．顯然點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(b,a)關(guān)于直線y=x對稱,特別地，當(dāng)a=b時(shí)，點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)(b,a)重合在直線y=x上．

引理2如果函數(shù)y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，那么y=f(x)與它的反函數(shù)y=f-1(x)圖像的交點(diǎn)必定在直線y=x上．

證明由引理1，假如y=f(x)與y=f-1(x)的圖像存在不在直線y=x上的交點(diǎn)(a,b)，則(b,a)也是它們交點(diǎn)，從而

若a>b，則由y=f(x)單調(diào)遞增，得f(a)>f(b)，即b>a，矛盾；同理若ab，也矛盾,從而假設(shè)不成立，y=f(x)與y=f-1(x)圖像的交點(diǎn)必定在直線y=x上．

引理3若x0，f(x0)使得f(x0)及f(f(x0))有意義，且x0滿足f(x0)=x0，那么x0也滿足f(f(x0))=x0．

證明若f(x0)=x0，則f(f(x0))=f(x0)=x0成立．

引理4如果函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，且存在x0，使得f(f(x0))=x0，則f(x0)=x0．

證明只需證明y=f(x)單調(diào)遞增的情形，y=f(x)單調(diào)遞減的情形同理可證．

假設(shè)f(x0)≠x0.若f(x0)>x0，則f(f(x0))>f(x0)>x0，與f(f(x0))=x0矛盾；若f(x0)

再運(yùn)用以上4個(gè)引理來解答例1和例2：

ex+x-x2=a．

令φ(x)=ex+x-x2，x∈[0,1]，則

φ′(x)=ex+1-2x.

再令h(x)=ex+1-2x，則

h′(x)=ex-2，

顯然h(x)在[0,ln2]上單調(diào)遞減，在[ln2,1]上單調(diào)遞增.因此

h(x)≥h(ln2)=3-2ln2>0，

即φ′(x)>0，于是

φ(x)∈[φ(0),φ(1)]=[1,e]，

即a∈[1,e]．故選A.

對例2的分析(1)略；

由f(f(x))=x，得f(x)=f-1(x)．結(jié)合引理3和引理4，得

解得

(以下同標(biāo)準(zhǔn)答案，略．)