基于雙重傅立葉變換的永磁轉(zhuǎn)子渦流損耗分析

張 濤，朱熀秋，孫曉東，楊澤斌

(1.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013;2.淮陰工學(xué)院電子與電氣工程學(xué)院，江蘇 淮安 223003)

高速永磁同步電機(jī)具有體積小、重量輕、高功率密度、高效率等獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，是特種電氣傳動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵設(shè)備，在航空航天、飛輪儲(chǔ)能、分布式發(fā)電等高速直驅(qū)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景［1－3］.永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子與定子磁場(chǎng)同步旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子中產(chǎn)生的渦流損耗遠(yuǎn)小于定子銅耗和鐵耗，常忽略不計(jì).而高速永磁轉(zhuǎn)子需采用護(hù)套保護(hù)永磁體，轉(zhuǎn)子散熱條件差，由齒槽效應(yīng)引起的氣隙磁場(chǎng)高次諧波在轉(zhuǎn)子永磁體、轉(zhuǎn)子軛和綁扎永磁體的護(hù)套中產(chǎn)生渦流損耗，可能會(huì)引起很高的溫升，導(dǎo)致永磁體局部不可逆熱退磁.特別是燒結(jié)釹鐵硼永磁材料具有較大的電導(dǎo)率和較低的居里溫度，熱穩(wěn)定性差，在高速、超高速永磁同步電機(jī)中尤為嚴(yán)重［4－5］.所以很有必要對(duì)高速永磁同步電機(jī)氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化，以減小轉(zhuǎn)子渦流損耗.轉(zhuǎn)子渦流損耗主要是由定子磁動(dòng)勢(shì)的空間諧波、定子電流的時(shí)間諧波以及定子齒槽效應(yīng)引起的的氣隙磁場(chǎng)時(shí)空諧波產(chǎn)生［6－9］.其中定子電流時(shí)間諧波引起的損耗主要取決于控制策略［10］，定子磁動(dòng)勢(shì)的空間諧波引起的損耗和氣隙磁場(chǎng)時(shí)空諧波引起的損耗主要取決于電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)［11］采用有限元法分析了分?jǐn)?shù)槽三相永磁電機(jī)定子繞組采用單層和雙層繞組結(jié)構(gòu)時(shí)的轉(zhuǎn)子損耗;文獻(xiàn)［12］研究了槽開口大小以及氣隙長度對(duì)轉(zhuǎn)子渦流損耗的影響，提出在永磁體外增加一薄層非導(dǎo)磁金屬屏蔽環(huán)來減小轉(zhuǎn)子鐵心、永磁體和護(hù)套損耗，分析了屏蔽環(huán)的電導(dǎo)率和厚度對(duì)轉(zhuǎn)子渦流損耗的影響;文獻(xiàn)［13］研究了永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子護(hù)套采用不同材料時(shí)的轉(zhuǎn)子損耗和對(duì)轉(zhuǎn)子溫升的影響.但永磁體磁化模式對(duì)轉(zhuǎn)子渦流損耗影響的研究還未見報(bào)道.

文中擬在建立永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子渦流損耗數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，基于二維靜態(tài)有限元分析，提取氣隙磁場(chǎng)樣本數(shù)據(jù);采用雙重傅里葉變換，研究轉(zhuǎn)子永磁體在平行磁化和Halbach磁化時(shí)，由齒槽效應(yīng)引起的氣隙磁場(chǎng)時(shí)空諧波和相應(yīng)的轉(zhuǎn)子渦流損耗;并采用瞬態(tài)時(shí)步有限元法，計(jì)算在空載狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子渦流損耗.

1 高速永磁同步電機(jī)結(jié)構(gòu)與損耗模型

面貼式高速永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的離心力會(huì)使永磁體脫落，必須采用護(hù)套保護(hù)永磁體，護(hù)套與永磁體之間采用過盈配合，保證在最高轉(zhuǎn)速時(shí)，永磁體與轉(zhuǎn)子鐵心之間存在正向壓強(qiáng)，同時(shí)護(hù)套內(nèi)表面應(yīng)力不超過護(hù)套材料的應(yīng)力極限.護(hù)套材料主要有碳纖維和高強(qiáng)度合金材料，采用碳纖維材料綁扎轉(zhuǎn)子時(shí)，雖然工藝復(fù)雜，但是護(hù)套中無高頻渦流損耗，同時(shí)護(hù)套厚度較薄，電機(jī)氣隙厚度小，提高了電機(jī)的電磁性能，但由于碳纖維材料為熱的不良導(dǎo)體，轉(zhuǎn)子散熱條件差.由齒槽效應(yīng)引起的轉(zhuǎn)子渦流損耗主要由氣隙磁場(chǎng)高次諧波產(chǎn)生，在永磁同步電機(jī)中氣隙磁場(chǎng)由永磁體磁場(chǎng)產(chǎn)生，永磁體磁化方式對(duì)氣隙磁場(chǎng)高次諧波具有重要影響.磁化模式主要有平行磁化和Halbach磁化等，圖1給出4極24槽面貼式永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)和永磁體2種磁化方式，為了減小永磁體渦流損耗，永磁環(huán)由小塊永磁體組成.

圖1 四極高速永磁同步電機(jī)結(jié)構(gòu)

為了建立永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子渦流損耗數(shù)學(xué)模型，圖2給出了永磁同步電機(jī)二維直線模型.

圖2 永磁同步電機(jī)二維直線模型

由圖2可見，模型分為5層，分別為定子鐵心、氣隙、永磁體、轉(zhuǎn)子鐵心和轉(zhuǎn)軸，μi，σi(i=1，2，3，4，5)分別為每層材料的相對(duì)磁導(dǎo)率和電阻率.根據(jù)庫倫規(guī)范

得到磁場(chǎng)基本控制方程為

式中:Az為z軸矢量磁位.

根據(jù)經(jīng)典麥克斯韋電磁場(chǎng)理論，在每層材料中有如下關(guān)系:

式中:Ei，Ji，Hi，Bi分別為第 i層材料的電場(chǎng)強(qiáng)度、渦流密度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度.

忽略端部效應(yīng)，根據(jù)斯托克斯定理，對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度Ei在路徑C上進(jìn)行積分，即有

根據(jù)電磁功率計(jì)算公式，在體積V內(nèi)的電磁損耗功率為

可得出在第i層材料中渦流損耗平均值為

式中:τ為空間諧波極距;Li為每層材料厚度;L為軸向長度.

由于磁場(chǎng)的集膚效應(yīng)，氣隙磁場(chǎng)高次時(shí)空諧波的透入深度遠(yuǎn)小于護(hù)套厚度，所以轉(zhuǎn)子渦流損耗主要在護(hù)套中產(chǎn)生.在轉(zhuǎn)子笛卡爾坐標(biāo)系下，建立氣隙磁場(chǎng)磁通密度方程為

式中:q為時(shí)間諧波次數(shù);n為空間諧波次數(shù).轉(zhuǎn)子表面的面電流密度和磁通密度關(guān)系為

則將式(7)帶入式(5)，可得

式中:ωe為諧波在轉(zhuǎn)子中產(chǎn)生渦流的角頻率.對(duì)上式進(jìn)行積分可得

式中:τ為空間諧波極距.對(duì)于同一護(hù)套材料，諧波透入深度為

式中:fn為諧波頻率.考慮諧波透入深度影響，轉(zhuǎn)子損耗可表示為

不同頻率的高次諧波在轉(zhuǎn)子中產(chǎn)生的總渦流損耗為

式中:n=6k±1;k=1，2，3，…;Bn為 n 次諧波磁通密度幅值;ωen，τn，δn分別為 n 次諧波產(chǎn)生渦流的角頻率，極距和透入深度.

2 氣隙磁場(chǎng)諧波分析

試驗(yàn)樣機(jī)參數(shù)如下:定子槽數(shù)，24;極對(duì)數(shù)，2;定子內(nèi)半徑，33.5 mm;外半徑，60 mm;氣隙和護(hù)套厚度，2 mm;永磁體厚度，2 mm;轉(zhuǎn)子鐵心內(nèi)徑，29.5 mm;永磁體采用具有高磁能積的燒結(jié)釹鐵硼材料，剩余磁感應(yīng)強(qiáng)度為 1.22 T;矯頑力為900 kA·m－1.采用Maxwell-2D建立有限元分析模型，根據(jù)區(qū)域面積設(shè)定網(wǎng)格剖分密度，網(wǎng)格剖分結(jié)果如圖3a所示，轉(zhuǎn)子在0°時(shí)的永磁磁場(chǎng)靜態(tài)磁通密度矢量分布如圖3b所示，定子軛中的磁通密度約為1 T，磁極處的磁通密度最大，約為1.5 T，轉(zhuǎn)子軛中的磁通密度約為0.55 T.

圖3 網(wǎng)格剖分與磁場(chǎng)分布

轉(zhuǎn)子在0°位置時(shí)，分別提取2種磁化模式下的氣隙中心處磁通密度數(shù)據(jù)，并分析各次諧波，磁場(chǎng)波形和諧波分解結(jié)果如圖4所示.

由圖4可見，永磁體采用Halbach磁化時(shí)，氣隙磁場(chǎng)波形近似為正弦波;而永磁體采用平行磁化時(shí)，氣隙磁場(chǎng)波形近似為矩形波.采用傅里葉變換對(duì)氣隙磁場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行諧波分解，從分析結(jié)果可得，氣隙磁場(chǎng)由基波和頻率為基波的奇數(shù)倍高次諧波組成，永磁體采張濤用Halbach磁化時(shí)，可以大大削弱第3，7，9，11 次等高次諧波.

圖4 氣隙磁場(chǎng)波形與諧波分析

為了對(duì)2種磁化模式下的磁場(chǎng)諧波和渦流損耗進(jìn)行定性分析，基于磁場(chǎng)靜態(tài)分析，轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)1°，提取一次轉(zhuǎn)子表面氣隙磁密法向分量數(shù)據(jù)，共提取30組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.為獲得時(shí)空諧波幅值，對(duì)所采集的數(shù)據(jù)樣本采用離散傅里葉算法進(jìn)行雙重傅里葉變換.

傅里葉變換公式為

離散函數(shù)f(x，y)為在不同的時(shí)間x和角位置y時(shí)的磁通密度法向分量采樣數(shù)據(jù).函數(shù)F(q，n)為時(shí)間次數(shù)為q和空間次數(shù)為n的時(shí)空諧波.對(duì)連續(xù)函數(shù)的采樣增量Δx和Δy的計(jì)算式為

2種磁化模式下的轉(zhuǎn)子表面氣隙磁場(chǎng)時(shí)空諧波雙重傅里葉分析結(jié)果二維矩陣如表1，2所示.

由表1，2可見，幅值較大的時(shí)空諧波F(q，n)為時(shí)間次數(shù)為12次和24次，空間次數(shù)為第11次、13次和第23次、25次的諧波.與平行磁化相比，永磁體采用Halbach磁化模式時(shí)，無 n=5，7，9次的諧波，同時(shí) n=11，13，23，25 次的諧波幅值較小，有效降低了各時(shí)空諧波幅值.

表1 Halbach磁化諧波

表2 平行磁化諧波

3 轉(zhuǎn)子損耗計(jì)算

對(duì)各次時(shí)空諧波分別計(jì)算相應(yīng)的渦流損耗密度，結(jié)果如表3，4所示.

表3 Halbach磁化轉(zhuǎn)子損耗密度

表4 平行磁化轉(zhuǎn)子損耗密度

由表3，4可見，永磁體在Halbach磁化和平行磁化時(shí)，各時(shí)空諧波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子損耗密度主要由時(shí)間次數(shù)q=12，空間次數(shù)n=11，13;和q=24，空間次數(shù)n=23，25的諧波產(chǎn)生.

圖5給出了由時(shí)空諧波引起的轉(zhuǎn)子渦流損耗密度柱狀比較圖.

圖5 轉(zhuǎn)子損耗密度

由圖5可見，永磁體采用Halbach磁化時(shí)的轉(zhuǎn)子渦流損耗密度遠(yuǎn)小于平行磁化時(shí)的轉(zhuǎn)子渦流損耗密度，約為平行磁化時(shí)的34%.

4 瞬態(tài)有限元分析

采用時(shí)步有限元法對(duì)已建立的有限元模型進(jìn)行分析.在空載狀態(tài)下，計(jì)算由齒槽效應(yīng)引起的氣隙磁場(chǎng)時(shí)空諧波在轉(zhuǎn)子中產(chǎn)生的渦流損耗.轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度為48 kr·min－1，計(jì)算時(shí)間為 0 ～0.04 s，時(shí)間步長設(shè)定為0.002 s，對(duì)轉(zhuǎn)子區(qū)域設(shè)定渦流損耗求解.圖6給出在轉(zhuǎn)子穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)的渦流損耗密度分布.

圖6 轉(zhuǎn)子損耗密度分布

由圖6可見，由于磁場(chǎng)的集膚效應(yīng)，轉(zhuǎn)子渦流損耗主要集中于轉(zhuǎn)子表面的護(hù)套和永磁體中;對(duì)于相同尺寸的永磁轉(zhuǎn)子，永磁體采用Halbach磁化模式時(shí)，由于含有較少的氣隙磁場(chǎng)諧波分量轉(zhuǎn)子其渦流損耗密度為44 W·m－2;而采用平行磁化時(shí)損耗密度為130 W·m－2.高速永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子永磁體采用Halbach磁化模式時(shí)的轉(zhuǎn)子渦流損耗約為平行磁化時(shí)的34%.永磁體采用Halbach磁化模式能夠有效減小由氣隙磁場(chǎng)齒槽效應(yīng)引起的轉(zhuǎn)子渦流損耗，與理論計(jì)算結(jié)果一致.

5 結(jié)論

文中采用雙重傅里葉變換和2-D有限元法，對(duì)齒槽效應(yīng)引起的氣隙磁場(chǎng)時(shí)空諧波在轉(zhuǎn)子中產(chǎn)生的渦流損耗進(jìn)行研究;比較了永磁體兩種磁化模式下的氣隙磁場(chǎng)時(shí)空諧波與對(duì)應(yīng)的渦流損耗;渦流損耗主要由空間次數(shù)為13、15和23、25，時(shí)間次數(shù)為12和24的時(shí)空諧波產(chǎn)生;永磁體采用Halbach磁化模式的轉(zhuǎn)子渦流損耗為平行磁化模式時(shí)的34%.

References)

［1］張 濤，朱熀秋，孫曉東，等.基于有限元法的高速永磁轉(zhuǎn)子強(qiáng)度分析［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2012，16(6):63－68.Zhang Tao， Zhu Huangqiu， Sun Xiaodong， et al.Strength analysis on high-speed permanent magnet rotor using finite element method［J］.Electric Machines and Control，2012，16(6):63 －68.(in Chinese)

［2］Bianchi N，Bolognani S，Luise F.Potentials and limits of high-speed PM motors［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2004，40(6):1570 －1578.

［3］徐永向，胡建輝，胡任之，等.永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子渦流損耗計(jì)算的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2007，22(7):150－154.Xu Yongxiang，Hu Jianhui，Hu Renzhi，et al.An experimental verification method of calculation for rotor eddy current losses in PMSMs［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2007，22(7):150 －154.(in Chinese)

［4］徐永向，胡建輝，鄒繼斌.表貼式永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子渦流損耗解析計(jì)算［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2009，13(1):63－66.Xu Yongxiang，Hu Jianhui，Zou Jibin.Analytical calculation of rotor eddy current losses of surface-mounted PMSM［J］.Electric Machines and Control，2009，13(1):63 －66.(in Chinese)

［5］Zhang Yuqiu，Lu Kaiyuan，Ye Yunyue.Permanent magnet eddy current loss analysis of a novel motor integrated permanent magnet gear［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2012，48(11):3005 －3008.

［6］周鳳爭(zhēng)，沈建新，林瑞光.從電機(jī)設(shè)計(jì)的角度減少高速永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子損耗［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2007，41(9):1587－1591.Zhou Fengzheng，Shen Jianxin，Lin Ruiguang.Reduction of rotor loss in high-speed permanent magnet motors by design method［J］.Journal of Zhejiang University:Engineering Science，2007，41(9):1587 － 1591.(in Chinese)

［7］Yamazaki Katsumi，Kanou Yuji，F(xiàn)ukushima Yu，et al.Reduction of magnet eddy-current loss in interior permanent-magnet motors with concentrated windings［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2010，46(6):2434－2441.

［8］Yamazaki Katsumi，Abe Atsushi.Loss investigation of interior permanent-magnet motors considering carrier harmonics and magnet eddy currents［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2009，45(2):659 －665.

［9］Yamazaki Katsumi，F(xiàn)ukushima Yu，Sato Makoto.Loss analysis of permanent-magnet motors with concentrated windings-variation of magnet eddy-current loss due to stator and rotor shapes［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2009，45(4):1334 －1442.

［10］Okitsu T，Matsuhashi D，Muramatsu K.Method for evaluating the eddy current loss of a permanent magnet in a PM motor driven by an inverter power supply using coupled 2-D and 3-D finite element analyses［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2009，45(10):4574 －4577.

［11］Bianchi N，Bolognani S，F(xiàn)ornasiero E.An overview of rotor losses determination in three-phase fractional-slot PM machines［J］.IEEE Transactions on Industry Applications，2010，46(6):2338 －2345.

［12］田占元，祝長生，王 玎.飛輪儲(chǔ)能用高速永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子的渦流損耗［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2011，45(3):451－457.Tian Zhanyuan，Zhu Changsheng，Wang Ding.Rotor eddy current loss in high speed permanent magnet motors for flywheel energy storage system［J］.Journal of Zhejiang University:Engineering Science，2011，45(3):451 －457.(in Chinese)

［13］Kolondzovski Z，Belahcen A，Arkkio A.Comparative thermal analysis of different rotor types for a high-speed permanent-magnet electrical machine［J］.IET Electric Power Applications，2009，3(4):279 －288.