對中學數(shù)學中“數(shù)學問題”的思考*

● 戚其祝

由于受到過去教學實踐中一些偏差行為的影響，人們對數(shù)學問題存在不同程度的偏見，認為強調(diào)數(shù)學問題就是要學生陷入“題?！?。

事實上，無論課內(nèi)還是課外，數(shù)學問題都有其存在的必要性。數(shù)學問題具有引入新知識、幫助學生加深對所學知識的理解、培養(yǎng)學生數(shù)學興趣等作用。在課堂教學中，課堂導入階段，教師給學生“以適合他們程度的問題去引起他們的好奇心”[1]能夠有效激發(fā)起學生的思考熱情，給課堂教學開一個好頭；新知識講解階段，一個接一個緊密聯(lián)系、逐步推進的數(shù)學問題的提出能夠引導學生的思考方向，直至得到最終的數(shù)學結(jié)論；練習階段，經(jīng)過教師悉心編排的高質(zhì)量的習題，能夠幫助學生加深對當堂課內(nèi)容的理解；課堂小結(jié)階段，提出基于當堂課教學內(nèi)容而又高于當堂課所講內(nèi)容的數(shù)學問題，能夠引起學生課下的思考，為后續(xù)內(nèi)容的學習埋下伏筆。在數(shù)學課外，教師通過介紹一些經(jīng)典的、富有趣味性的數(shù)學問題，能夠幫助學生增進對數(shù)學的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣。所以，從數(shù)學教學的角度來看，中學數(shù)學教育活動中需要大量數(shù)學問題。

一、數(shù)學問題要有質(zhì)量有意義

陳省身先生講，有好的數(shù)學，也有不好的數(shù)學。同樣，中學數(shù)學教育中也有好問題和不好的問題之分。真正為學生所討厭、也是我們所反對的是那些毫無意義、僅僅是簡單重復的不好的數(shù)學問題。例如斐波那契數(shù)列 1，1，2，3，5，8.13……是一個比較經(jīng)典的、對數(shù)學發(fā)展有一定影響的數(shù)列，它有許多奇妙的性質(zhì)，在實際生活中也有非常廣泛而有趣的應用，深入挖掘它的文化價值、向?qū)W生展示它的驚奇有趣的那一面應該是教學中要努力追尋的。但是一些人僅僅是抓住該數(shù)列的“規(guī)律”不放，人為編造出大量的規(guī)律并不是那么明顯、而且事實上也沒有什么應用的問題來讓學生反復練習，這無疑是把好的材料用偏了。所以，對于數(shù)學問題的選擇，教師一定要進行篩選，選擇那些高質(zhì)量的、有意義的數(shù)學問題提供給學生。至于好的數(shù)學問題的標準，大衛(wèi)·希爾伯特認為，一是問題本身必須提得“清晰”、“易懂”；二是問題“應該是困難的，但卻不應是完全不可解決而使我們白費力氣”，即“難而又可解決”。[2]

二、數(shù)學問題的來源應該多樣化

一般來說，推動數(shù)學發(fā)展的力量主要有兩點：社會生產(chǎn)發(fā)展的需要 （包括物理等非數(shù)學學科的需要）和數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要。數(shù)學中的問題也就可以相應的分為兩類：來自于數(shù)學外部的問題和來自數(shù)學內(nèi)部的問題。體現(xiàn)在中學數(shù)學教育中就是數(shù)學問題有的是從生活中提出來，帶有濃厚生活味道的數(shù)學問題，有的是純粹的數(shù)學問題。人們不應該為了培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識就僅僅強調(diào)第一類問題，也不應該讓學生只做后一類問題而無法讓其看到數(shù)學具有廣泛應用的一面。任何只強調(diào)一類問題的做法都是不恰當?shù)?。尤其是現(xiàn)在新課改強調(diào)數(shù)學要體現(xiàn)其應用價值的情況下，人們對于純數(shù)學問題應該有一個正確的看法。事實上，中學數(shù)學中許多純數(shù)學問題尤其是數(shù)學競賽的試題，都具有比較大的教育價值，同樣可以引起學生的探究欲望，培養(yǎng)其數(shù)學學習的興趣。

需要特別指出的是，中學數(shù)學中的數(shù)學問題是經(jīng)過加工的具有教育功能的數(shù)學問題，屬于教育數(shù)學的范疇。在從現(xiàn)實生活中提煉加工數(shù)學問題的過程中，人們已經(jīng)省略掉了一些非主要因素，也就是已經(jīng)做了中學數(shù)學建模中的問題假設(shè)工作，這樣，到中學生面前的數(shù)學問題已經(jīng)不可能百分百忠實于生活 （事實上，也沒有必要）。所以對于中學數(shù)學教育中數(shù)學問題的“真實性”人們不應該有太高的要求。一個數(shù)學問題只要能夠做到引起學生的探究欲望，對實現(xiàn)教育的目的有積極的作用，那么它的教育價值就應該被肯定。

三、中學數(shù)學教育中的數(shù)學問題并非都要有解

數(shù)學問題并不是都有解的，中學數(shù)學教學中也應該介紹一些“無解”或者是對于中學生來說“無解”的經(jīng)典數(shù)學問題。哥德巴赫猜想“每個大于或等于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，每個大于或等于9的奇數(shù)都是3個素數(shù)之和”內(nèi)容簡單易懂，但是很多人卻將問題的證明簡單的理解為要證明“1+1=2”，而不去了解猜想的內(nèi)容。如果中學數(shù)學中介紹一下哥德巴赫猜想這個目前“無解”的問題，或許能夠讓相當一部分人糾正對數(shù)學、數(shù)學家及其研究工作的偏見。又比如費馬大定理經(jīng)過幾代數(shù)學家的工作，歷時358年，才最終獲得證明。安德魯·懷爾斯的整個證明過程洋洋灑灑足有二百多頁。在中學數(shù)學中介紹該定理自然不是為了讓學生掌握其證明方法，但是卻完全可以作為一個研究性課題出現(xiàn)：學生在學習了勾股定理后，老師讓學生對此結(jié)論進行推廣，猜想三元方程Xn+yn=Zn當n≥3時的正整數(shù)解的情況。然后要求學生課下查閱資料獲得對該問題的盡可能多的信息，最后進行匯報。整個過程既培養(yǎng)了學生查閱資料、整理資料的能力，又可以通過安德魯·懷爾斯證明該定理的過程讓學生了解數(shù)學家是如何進行研究工作的，拓寬學生的視野，幫助學生對數(shù)學形成正確的認識，發(fā)展數(shù)學觀。

數(shù)學問題在數(shù)學教學中具有積極的作用，但是所謂過猶不及，我們又應注意不可過分強調(diào)數(shù)學問題在教學中的地位。美國在20世紀80年代提出“問題解決”，認為必須把問題解決作為學校數(shù)學的核心，但是世紀之交又提出了平衡基本技能、概念理解和問題解決，重新強調(diào)基礎(chǔ)知識的重要性。所以一方面我們要發(fā)揮數(shù)學問題和問題解決在數(shù)學教學中的積極價值和作用，另一方面又必須重視數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)，以更好完成培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的。

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]黃忠裕.初等數(shù)學建模[M].成都：四川大學出版社，2004.