淺談古典數(shù)學(xué)益智玩具的開(kāi)發(fā)與運(yùn)用*

● 孫桂芳

以七巧板、九連環(huán)、魯班鎖、華容道為代表的古典數(shù)學(xué)益智玩具（本文簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)玩具，下同），作為人類智慧的結(jié)晶，在構(gòu)造與操作中都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素，具有重要的數(shù)學(xué)課程資源教育意義。

一、豐富教材資源

首先，拓展教材資源。如每個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材都引入了七巧板的內(nèi)容，但無(wú)不都是局限于歷史背景與圖案設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單介紹，此時(shí)教師可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際引進(jìn)四巧板、五巧板、八巧板、十五巧板以及立體七巧板等，作為校本課程供學(xué)生了解和體驗(yàn)。對(duì)于七巧板，有一個(gè)珍貴的資源應(yīng)該開(kāi)發(fā)和利用——“一副七巧板能擺出多少個(gè)凸多邊形？20世紀(jì)30年代由日本數(shù)學(xué)家提出這個(gè)問(wèn)題，最終由我國(guó)浙江大學(xué)的王福春、熊全治兩位學(xué)者解決，其論文 《關(guān)于七巧板的一個(gè)定理》（A Theorem on the Tangram）發(fā)表于《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1942年第49期。”[1]

其次，建立“空間與圖形”觀念。數(shù)學(xué)玩具本身是立體的實(shí)物，教師在介紹、講解時(shí)必須涉及到“現(xiàn)實(shí)世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關(guān)系及其變換”[2]；學(xué)生在探索過(guò)程中切實(shí)體會(huì)空間與圖形；學(xué)生在相互交流、傳授做法的過(guò)程中，必會(huì)涉及到空間與圖形的概念與相關(guān)聯(lián)系。

再次，作為常規(guī)課堂的輔助教具，將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理直觀演示。如學(xué)習(xí)《勾股定理》時(shí)，利用七巧板來(lái)證明和驗(yàn)證勾股定理，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐驗(yàn)證勾股定理的證明；七巧板各組塊角度及面積之間的關(guān)系，是對(duì)勾股定理的應(yīng)用；神奇四塊、三角變正方、四巧板等滑板類玩具亦有對(duì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值。

最后，作為數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的檢測(cè)和提升，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的實(shí)踐性、操作性和探索性。如學(xué)習(xí)“三視圖”時(shí)，利用魯班球和魯班鎖的三視圖圖解，在應(yīng)用過(guò)程中檢驗(yàn)和加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“三視圖”相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

二、滲透數(shù)學(xué)思想和方法

“目前，在處理中小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法上有兩種基本的思路：第一，主要通過(guò)純數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，逐步使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想和方法，特別是一些具體的、技巧性較強(qiáng)的方法，如換元法、因式分解法、公式法等；第二，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題使學(xué)生在掌握所要求的數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，形成那些對(duì)人的素質(zhì)有促進(jìn)作用的基本思想方法，如試驗(yàn)、猜測(cè)、模型化、合情推理、系統(tǒng)分析等。這兩類思想方法的取向有所不同，前者傾向于技術(shù)方面的，更多的是幫助學(xué)生學(xué)習(xí)解決具體問(wèn)題的技巧，后者更多的是一般的思考方法，具有更廣的應(yīng)用性，主要發(fā)達(dá)國(guó)家傾向于第二種方法?！盵3]

顯然，第一種思路是把數(shù)學(xué)思想方法等同于解題術(shù)，第二種思路則強(qiáng)調(diào)量化思想方法之類的基本思想方法。兩種思路，數(shù)學(xué)玩具均有涉及。對(duì)于前者，如M扣涉及到分類討論思想、整體思想、空間知識(shí)；T字謎、神奇四塊涉及到轉(zhuǎn)化思想；漢諾塔涉及數(shù)形結(jié)合思想、整體思想和數(shù)學(xué)建模思想，并與乘方、數(shù)列等具體的知識(shí)相聯(lián)系。對(duì)于不同知識(shí)水平的學(xué)生，探索同一個(gè)數(shù)學(xué)玩具的內(nèi)在思想會(huì)有不同的表現(xiàn)結(jié)果，如漢諾塔，初一學(xué)生是體驗(yàn)為主的探索，初二學(xué)生課題學(xué)習(xí)的探索，初三學(xué)生數(shù)學(xué)建模的訓(xùn)練，高中生數(shù)列的研究，大學(xué)生在心理學(xué)、美學(xué)設(shè)計(jì)方面進(jìn)行研究以利用。

相比之下，數(shù)學(xué)玩具對(duì)于后者的作用體現(xiàn)的更明顯。探索的過(guò)程，即是解決具體問(wèn)題的過(guò)程。比如“立刻瘋”（四色俱全），在探索的過(guò)程中要涉及試驗(yàn)、猜測(cè)、模型化、發(fā)散性思考、系統(tǒng)分析等；神秘T字謎蘊(yùn)含著一定的心理因素，要求挑戰(zhàn)者打破思維定勢(shì)，通過(guò)全面觀察、估計(jì)、比較各角的度數(shù)、各邊長(zhǎng)度才能成功；“華容道游戲的數(shù)學(xué)教育價(jià)值有提出問(wèn)題、倒推、符號(hào)化與數(shù)學(xué)交流?！盵4]

對(duì)數(shù)學(xué)玩具利用的淺層教育價(jià)值是研究其解法，深層教育價(jià)值是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)玩具的探索，培養(yǎng)解決綜合問(wèn)題的能力，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)在教育性、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的價(jià)值，其理性精神、邏輯推理、對(duì)事物的客觀判斷等，是超越數(shù)學(xué)學(xué)科而具有的普遍價(jià)值，是促進(jìn)學(xué)生人格發(fā)展的寶貴資源。

三、引領(lǐng)學(xué)習(xí)方法

探究數(shù)學(xué)玩具能夠很好地體會(huì)這四個(gè)步驟：要攻克一件數(shù)學(xué)玩具，第一步要“弄清問(wèn)題”，即理解目標(biāo)，明確任務(wù)；第二步“擬訂計(jì)劃”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，從理解目標(biāo)到構(gòu)思是一個(gè)漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程，是需要從已知到未知轉(zhuǎn)化的過(guò)程；第三步“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”是解決問(wèn)題的核心，是根據(jù)第二步的計(jì)劃實(shí)際操作、嘗試，涉及到以前學(xué)到的知識(shí)，運(yùn)用良好的思維習(xí)慣，需要耐心地逐個(gè)進(jìn)行所有細(xì)節(jié)，達(dá)到每一點(diǎn)都非常清晰，才能保證成功；第四步“回顧”是解決問(wèn)題的魅力所在，通過(guò)回顧完整的解決過(guò)程，重新思考導(dǎo)致結(jié)果的途徑，在經(jīng)過(guò)充分的研究和洞察以后，將這些解題方法加以改進(jìn)，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通。

學(xué)生應(yīng)如何正確看待數(shù)學(xué)考試與競(jìng)賽？如何在考試與競(jìng)賽中獲勝？借助數(shù)學(xué)玩具，在學(xué)生中開(kāi)展競(jìng)賽活動(dòng)，可以引導(dǎo)學(xué)生感受影響考試與競(jìng)賽的重要因素：速度、方法與技能，形成對(duì)數(shù)學(xué)的解題與數(shù)學(xué)考試的正確認(rèn)識(shí)，從側(cè)面認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法。

四、更新數(shù)學(xué)觀

改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，首要的問(wèn)題是更新學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，使學(xué)生具有合理的數(shù)學(xué)觀。

“曹瞞兵敗走華容，正與關(guān)公狹路逢。只為當(dāng)初恩義重，放開(kāi)金鎖走蛟龍?！边@首詩(shī)是《三國(guó)演義》里作者對(duì)赤壁之戰(zhàn)關(guān)羽放走曹操的感慨。一直以來(lái)，人們認(rèn)為華容道這一數(shù)學(xué)玩具就取意于這段故事。但據(jù)吳鶴齡考察，“把華容道看作是從西方傳入以后本地化的產(chǎn)物，倒是比較合乎事實(shí)和邏輯的?！盵5]華容道曾引起過(guò)許多人的興趣，有學(xué)者研究其與《三國(guó)演義》中的故事、人物聯(lián)系及刻畫歷史人物內(nèi)心，而更多的是研究如何用最少的步數(shù)把曹操“救出”。我國(guó)許莼舫總結(jié)了8條相關(guān)的規(guī)律，并用了100步將曹操走出。因?yàn)椤八朗匾?guī)律”，以16步之差落后于“萊曼解法”的84步，而創(chuàng)造世界記錄的“81步解法”是美國(guó)數(shù)學(xué)家馬丁·加德納。[6]通過(guò)華容道引導(dǎo)學(xué)生感悟：數(shù)學(xué)是人類的一門科學(xué)，集世界文化于一體，是在探索與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中不斷發(fā)展變化與完善的，是包含著錯(cuò)誤與改正的一門學(xué)科。

漢諾塔取自于古印度的“世界末日傳說(shuō)”，又名梵塔、羅漢塔、河內(nèi)塔。漢諾塔問(wèn)題是由法國(guó)數(shù)學(xué)家Edouard Lucas于1883年提出。人們熱衷于挑戰(zhàn)它的最少移動(dòng)次數(shù)的方法，漢諾塔問(wèn)題在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)與分析的教材中幾乎都無(wú)一例外地被引入，它的解決要使用數(shù)學(xué)歸納、遞歸函數(shù)和迭代等方法。不僅如此，漢諾塔問(wèn)題還是心理學(xué)實(shí)驗(yàn)研究常用的任務(wù)之一。實(shí)際上，漢諾塔問(wèn)題適合各種不同知識(shí)層次的人去研究，初中生比較適合研究“264有多大”。[7]通過(guò)漢諾塔引導(dǎo)學(xué)生感悟：數(shù)學(xué)與客觀世界有密切的聯(lián)系，數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，數(shù)學(xué)是一門通過(guò)對(duì)數(shù)與形的研究揭示客觀世界的秩序、和諧與統(tǒng)一的學(xué)科。

學(xué)生對(duì)任何一種數(shù)學(xué)玩具的成功探索，無(wú)不經(jīng)歷猜想、嘗試、驗(yàn)證、歸納等過(guò)程，可以說(shuō)數(shù)學(xué)還是一種探索性活動(dòng)，并伴隨著錯(cuò)誤、嘗試與改進(jìn)的過(guò)程。因此，通過(guò)數(shù)學(xué)玩具使學(xué)生明確，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程不應(yīng)當(dāng)只是接受、記誦既定知識(shí)的過(guò)程，更應(yīng)當(dāng)是學(xué)習(xí)者自主參與探索活動(dòng)的創(chuàng)造、生成性的過(guò)程。

[1][5]吳鶴齡.七巧板、九連環(huán)和華容道—中國(guó)古典智利游戲三絕[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2001.

[3]劉兼、孫曉天.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[4]張新春.智力游戲“華容道”及其數(shù)學(xué)教育價(jià)值[J].湖南教育，2008，（10）.

[6]我國(guó)古代的智力玩具[EB/OL].http：//hi.baidu.com/lwp333/blog／item/e13d4e546628d65c564e0025.html

[7]劉永坤.你還在練 QQ 等級(jí)嗎[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2008，（6）.