延遲積分微分方程二步Runge－Kutta法漸近穩(wěn)定性分析

袁海燕，曲紹平，賀 丹

（黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱150050）

近年來，有關(guān)延遲微分方程（DDEs）數(shù)值方法穩(wěn)定性的研究越來越多［1－3］，這些方程廣泛出現(xiàn)于科學(xué)工程領(lǐng)域，如電路分析、計算機(jī)輔助設(shè)計、光學(xué)控制等。同期出現(xiàn)了有關(guān)模糊延遲微分方程組的結(jié)論，例如，多芯片的互連問題［4］。Zhu和Petzold用θ方法、Runge－Kutta方法、BDF方法和線性多步法［5］驗證過模糊延遲微分方程的漸近穩(wěn)定性，Yu用多步法研究了一般中立型延遲微分代數(shù)方程（GNDDAEs）［6］。 最 近，人 們 對 延 遲 積 分 微 分 方 程（DIDEs）的研究越來越多。

本文主要探討延遲積分微分方程（DIDEs）的二步Runge－Kutta方法和它的穩(wěn)定區(qū)域，給出并證明DIDEs的二步Runge－Kutta方法的漸近穩(wěn)定性結(jié)果。

1 二步龍格－庫塔方法和它的穩(wěn)定域

考慮二步龍格－庫塔方法（TSRK）具有如下形式：

其中：tj＝tn＋cjh，~tj＝tn－1＋cjh，0≤θ≤1；ui是u（ti）的一個近似；h是固定步長；θ，＾bj，~bj和~ai，j，cj是系數(shù)。這些方法形成了一類一般線性方法［7］，也可以看作二步分裂方法。這里，將式（1）～（3）表示為

將式（1）～（3）應(yīng)用到實驗方程

為了研究式（1）～（3）的穩(wěn)定性，必須分析式（5）解的漸近性，由下面的特征多項式的根決定

φ（z）＝z2－R（a，θ）z－S（a，θ）.

二步龍格－庫塔方法的穩(wěn)定區(qū)域是所有使得φ（z）的根在單位圓內(nèi)或圓上的α的集合，其中φ（z）在單位圓上的根是單根。如果對于任意的α，Reα＜0，φ（z）是一個schur多項式，二步龍格－庫塔方法的穩(wěn)定區(qū)域包含負(fù)半平面，則稱此方法是A－穩(wěn)定的。

2 NMDIDAEs的TSRK 方法的漸近穩(wěn)定性

這里考慮方程

假定τq＝qτ，τ＝Mh，M 是一個正整數(shù)，q＝1，2，…，m。

定義［8］如果一個數(shù)值方法用到漸近穩(wěn)定系統(tǒng)（6）上的數(shù)值解滿足＝0，則該方法就是漸近穩(wěn)定的。

將式（1）～（3）代入到式（6）中，得

其中 Kn，i＝，i＝1，2，…，s是乘h 的級導(dǎo)數(shù)。記＾bT＝［＾b1，＾b2，…，＾bs］，~bT＝，…，~bs］，~A＝（~aij）。

假定~A的特征值都有正實部，上述的龍格－庫塔方法一定存在。一個簡單的例子就是具有正對角系數(shù)半顯式的龍格－庫塔方法［9］，重排級導(dǎo)數(shù)得到

引理1［10］如果式（10）的所有零點(diǎn)都滿足＜1，則數(shù)值方法式（7）～（8）滿足＝0。

矩陣Is－λl（r（z））的可逆性意味著對于所有的l，j，λl（r（z））λj（）≠1，因 此，有≥1時，det ［T1（z）］≠0。

定理 如果系統(tǒng)式（7）～（8）滿足引理2的條件且滿足下列條件：

則式（7）～（8）的TSRK法的解是漸近穩(wěn)定的。

結(jié)合式（13）和式（14）得

3 結(jié)束語

本文主要探討了延遲積分微分方程（DIDEs）的二步Runge－Kutta方法和它的穩(wěn)定區(qū)域，給出并證明A－穩(wěn)定的二步Runge－Kutta方法求解DIDEs的漸近穩(wěn)定性。

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